Projektbeschreibung
Glatte Vier-Mannigfaltigkeiten: bessere Charakterisierung durch Knoten und ihre Scheibenflächen
Glatte Vier-Mannigfaltigkeiten – topologische 4D-Mannigfaltigkeiten mit einer glatten Struktur – gelten als nicht gut charakterisiert. Das Ziel der Arbeit des vom Europäischen Forschungsrat finanzierten Projekts KnotSurf4d besteht darin, diese Lücke im Wissen über höherdimensionale Mannigfaltigkeiten zu schließen, indem die Geschlecht-Funktion und ihre verbesserte Version genutzt werden, bei der Knoten und ihre Scheibenflächen berücksichtigt werden. Dieser neuartige Ansatz, bei dem die Knoten und ihre Scheibeneigenschaften in verschiedenen Vier-Mannigfaltigkeiten im Vordergrund stehen, könnte letztlich einen Kandidaten für eine Invariante liefern, die eine glatte Verallgemeinerung der Schnittform darstellt und glatte Vier-Mannigfaltigkeiten charakterisiert. Das Team wird außerdem Teilbarkeits- und Torsionsfragen in der Konkordanzgruppe mithilfe der Knoten-Floer-Homologie sowie mögliche Gegenbeispiele für die berühmte Slice-Ribbon-Vermutung untersuchen.
Ziel
Four-dimensional smooth manifolds show very different behaviour than manifolds in any other dimension. In fact, in other dimensions we have a somewhat clear picture of the classification, while dimension four is still elusive. The project aims to further our knowledge in this question in several ways. The genus function, and its enhanced version taking knots and their slice surfaces into account, plays a crucial role in understanding different smooth structures on four-manifolds. Techniques for studying these objects range from topological and symplectic/algebraic geometric (on the constructive side) to algebraic and analytic methods resting on specific PDE’s and on counting their solutions (on the obstructive side).
The proposal aims to study several interrelated questions in this area. We plan to construct further exotic structures, detect and better understand their exoticness. In doing so, we put strong emphasis on knots and their slice properties in various four-manifolds. Ultimately we provide a candidate for an invariant, which is a smooth (and somewhat complicated) generalization of the intersection form, and we expect this generalization to characterize smooth four-manifolds. The novelty in this approach is the incorporation of knots and their slice surfaces in a significant and organized manner into the picture. While it provides a refined tool in general, this approach also touches classical aspects of four-manifold topology through the study of the concordance group. We plan to study divisibility and torsion questions in this group via knot Floer homology. Definition of the concordance group rests on the concept of slice knots, which is closely related to the ribbon construction. We plan to further study potential counterexamples for the famous Slice-Ribbon conjecture. The proposed problems can also provide explanations of the special behaviour of four-manifolds with definite intersection forms, like the four-sphere and the complex projective plane.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
Aufforderung zur Vorschlagseinreichung
(öffnet in neuem Fenster) ERC-2023-ADG
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Ungarn