Projektbeschreibung
Die Geometrie des Zufalls
Fraktale sind komplexe Muster, die in Küstenlinien, Wolken und sogar an den Finanzmärkten erkennbar sind. Ihre Form von Dimension lässt sich nicht exakt in ganze Zahlen fassen. Seit Jahrzehnten haben Mathematiker anhand der ihnen zugrunde liegenden Zufälligkeit vorhergesagt, wie dicht diese Formen sein sollten. Der Nachweis dieser so genannten „erwarteten Dimension“ ist jedoch schwierig, da Fraktale sich überlappen oder in hochdimensionalen Räumen existieren. Das ERC-finanzierte Projekt DIM-FRACTAL zielt darauf ab, dieses Problem durch die Kombination von Werkzeugen aus der additiven Kombinatorik und der Theorie der Zufallsmatrizen zu lösen. Die Forscher erarbeiten einen einheitlichen Ansatz für Fälle, in denen Standardtechniken versagen. Sie werden zeigen, dass Fraktale in der Tat ihre volle geometrische Komplexität erreichen. Die Lösung dieses Problems würde neue Wege eröffnen, die nichtlinearen und chaotischen Systeme zu verstehen, von der die physikalische Welt geprägt ist.
Ziel
We consider the dimension of stationary fractal measures. Our examples include self-affine, self-similar, and Furstenberg measures, which are among the most fundamental and studied fractal objects. The dimension of such a measure has a natural upper bound defined in terms of entropy, Lyapunov exponents, and the dimension of the ambient space. Equality to the upper bound is expected in the absence of obvious algebraic obstructions. In very simple situations, this equality is easy to demonstrate and was known to hold long ago. In more complicated cases, it has been shown to hold almost surely under a natural randomization of the parameters.
On the other hand, proving the expected equality under the minimal conjectured assumptions, or even under some mild algebraic conditions, is an extremely challenging problem. In recent years, there has been considerable progress in this direction. However, due to major obstacles in current methods, a satisfactory solution is still a long way off. These obstacles mainly stem from high dimensionality of the ambient space, and from lack of separation in the associated semigroup.
The primary goal of the proposed research is to make substantial progress in verifying the equality by addressing the aforementioned obstacles through the use of new techniques and ideas. Our suggested arguments include methods from additive combinatorics, ergodic theory, and the theory of random products of matrices.
To address difficulties caused by lack of separation, we suggest extending the theory developed for Bernoulli convolutions, and its partial generalization to the setup of three maps, to systems consisting of more maps. To tackle high dimensionality difficulties, we propose an approach requiring the factorization of the Furstenberg boundary maps. By implementing these strategies, we expect our research to play a crucial role in forming a more unified and complete dimension theory of stationary fractal measures.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: Das European Science Vocabulary.
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: Das European Science Vocabulary.
Sie müssen sich anmelden oder registrieren, um diese Funktion zu nutzen
Schlüsselbegriffe
Schlüsselbegriffe des Projekts, wie vom Projektkoordinator angegeben. Nicht zu verwechseln mit der EuroSciVoc-Taxonomie (Wissenschaftliches Gebiet).
Schlüsselbegriffe des Projekts, wie vom Projektkoordinator angegeben. Nicht zu verwechseln mit der EuroSciVoc-Taxonomie (Wissenschaftliches Gebiet).
Programm/Programme
Mehrjährige Finanzierungsprogramme, in denen die Prioritäten der EU für Forschung und Innovation festgelegt sind.
Mehrjährige Finanzierungsprogramme, in denen die Prioritäten der EU für Forschung und Innovation festgelegt sind.
-
HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC)
HAUPTPROGRAMM
Alle im Rahmen dieses Programms finanzierten Projekte anzeigen
Thema/Themen
Aufforderungen zur Einreichung von Vorschlägen sind nach Themen gegliedert. Ein Thema definiert einen bestimmten Bereich oder ein Gebiet, zu dem Vorschläge eingereicht werden können. Die Beschreibung eines Themas umfasst seinen spezifischen Umfang und die erwarteten Auswirkungen des finanzierten Projekts.
Aufforderungen zur Einreichung von Vorschlägen sind nach Themen gegliedert. Ein Thema definiert einen bestimmten Bereich oder ein Gebiet, zu dem Vorschläge eingereicht werden können. Die Beschreibung eines Themas umfasst seinen spezifischen Umfang und die erwarteten Auswirkungen des finanzierten Projekts.
Finanzierungsplan
Finanzierungsregelung (oder „Art der Maßnahme“) innerhalb eines Programms mit gemeinsamen Merkmalen. Sieht folgendes vor: den Umfang der finanzierten Maßnahmen, den Erstattungssatz, spezifische Bewertungskriterien für die Finanzierung und die Verwendung vereinfachter Kostenformen wie Pauschalbeträge.
Finanzierungsregelung (oder „Art der Maßnahme“) innerhalb eines Programms mit gemeinsamen Merkmalen. Sieht folgendes vor: den Umfang der finanzierten Maßnahmen, den Erstattungssatz, spezifische Bewertungskriterien für die Finanzierung und die Verwendung vereinfachter Kostenformen wie Pauschalbeträge.
HORIZON-ERC - HORIZON ERC Grants
Alle im Rahmen dieses Finanzierungsinstruments finanzierten Projekte anzeigen
Aufforderung zur Vorschlagseinreichung
Verfahren zur Aufforderung zur Einreichung von Projektvorschlägen mit dem Ziel, eine EU-Finanzierung zu erhalten.
Verfahren zur Aufforderung zur Einreichung von Projektvorschlägen mit dem Ziel, eine EU-Finanzierung zu erhalten.
(öffnet in neuem Fenster) ERC-2025-STG
Alle im Rahmen dieser Aufforderung zur Einreichung von Vorschlägen finanzierten Projekte anzeigenGastgebende Einrichtung
Finanzieller Nettobeitrag der EU. Der Geldbetrag, den der Beteiligte erhält, abzüglich des EU-Beitrags an mit ihm verbundene Dritte. Berücksichtigt die Aufteilung des EU-Finanzbeitrags zwischen den direkten Begünstigten des Projekts und anderen Arten von Beteiligten, wie z. B. Dritten.
32000 Haifa
Israel
Die Gesamtkosten, die dieser Organisation durch die Beteiligung am Projekt entstanden sind, einschließlich der direkten und indirekten Kosten. Dieser Betrag ist Teil des Gesamtbudgets des Projekts.