Descrizione del progetto
Domare il (matematicamente) selvaggio
Trovare la semplicità nella complessità o nel caos è la chiave per dare un senso al mondo che ci circonda e la matematica può aiutarci a farlo. I modelli si sforzano di mantenere il livello di complessità necessario e sufficiente per descrivere un dato fenomeno, al fine di ridurre sia il tempo di calcolo che il relativo consumo di energia. Quando si tratta di processi variabili nel tempo in fisica e biologia, la teoria dei sistemi dinamici ci permette di prevedere il comportamento del sistema in un momento successivo seguendone l’evoluzione attraverso vari stati possibili. Per i sistemi caotici per i quali ciò non è possibile, gli scienziati usano le probabilità e la possibilità che il sistema si trovi in un dato stato. Nei sistemi caotici «selvaggi» esiste un numero infinito di possibilità statistiche che complica ulteriormente le cose. Il progetto Emergence, finanziato dall’UE, sta intraprendendo il primo studio globale di questi casi speciali, nel tentativo di semplificarli e descriverli.
Obiettivo
Many physical or biological systems display time-dependent states which can be mathematically modelled by a differentiable dynamical system. The state of the system consists of a finite number of variables, and the short time evolution is given by a differentiable equation or the iteration of a differentiable map. The evolution of a state is called an orbit of the system. The theory of dynamical systems studies the long time evolution of the orbits.
For some systems, called chaotic, it is impossible to predict the state of an orbit after a long period of time. However, in some cases, one may predict the probability of an orbit to have a certain state. A paradigm is given by the Boltzmann ergodic hypothesis in thermodynamics: over long periods of time, the time spent by a typical orbit in some region of the phase space is proportional to the “measure” of this region. The concept of Ergodicity has been mathematically formalized by Birkhoff. Then it has been successfully applied (in particular) by the schools of Kolmogorov and Anosov in the USSR, and Smale in the USA to describe the statistical behaviours of typical orbits of many differentiable dynamical systems.
For some systems, called wild, infinitely many possible statistical behaviour coexist. Those are spread all over a huge space of different ergodic measures, as initially discovered by Newhouse in the 70's. Such systems are completely misunderstood. In 2016, contrarily to the general belief, it has been discovered that wild systems form a rather typical set of systems (in some categories).
This project proposes the first global, ergodic study of wild dynamics, by focusing on dynamics which are too complex to be well described by means of finitely many statistics, as recently quantified by the notion of Emergence. Paradigmatic examples will be investigated and shown to be typical in many senses and among many categories. They will be used to construct a theory on wild dynamics around the concept of Emergence.
Campo scientifico
Parole chiave
Programma(i)
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
ERC-COG - Consolidator GrantIstituzione ospitante
75794 Paris
Francia