Descrizione del progetto
Soluzioni algebriche ai problemi enumerativi in geometria reale e complessa
La geometria enumerativa, ovvero quel ramo della matematica che si occupa del conteggio del numero di soluzioni a problemi geometrici, analizza tali problemi calcolando gli invarianti numerici. Questa branca della geometria algebrica ha fornito con successo soluzioni ai problemi di conteggio in ambito geometrico per quanto concerne i numeri complessi. Il progetto QUADAG, finanziato dall’UE, si sta avvalendo della geometria algebrica e della teoria dell’omotopia motivica al fine di sviluppare nuovi metodi puramente algebrici per gestire i problemi enumerativi riguardanti numeri reali, numeri razionali o campi finiti. Il progetto si baserà sui precedenti lavori di successo svolti dal ricercatore che hanno portato allo sviluppo di un approccio puramente geometrico per affrontare i problemi di geometria enumerativa, gettando luce sulle soluzioni nell’ambito dei numeri reali e complessi in un modo unificato.
Obiettivo
Enumerative geometry, the mathematics of counting numbers of solutions to geometric problems, and its modern descendents, Gromov-Witten theory, Donaldson-Thomas theory, quantum cohomology and many other related fields, analyze geometric problems by computing numerical invariants, such as intersection numbers or degrees of characteristic classes. This essentially algebraic approach has been successful mainly in the study of problems over the complex numbers and other algebraically closed fields. There has been progress in attacking enumerative problems over the real numbers; the methods are mainly non-algebraic. Arithmetic content underlying the numerical invariants is hidden when analyzed by these non-algebraic methods. Recent work by the PI and others has opened the door to a new, purely algebraic approach to enumerative geometry that recovers results in both the complex and real cases in one package and reveals this arithmetic content over arbitrary fields. Building on these new developments, the goals of this proposal are, firstly, to use motivic homotopy theory, algebraic geometry and symplectic geometry to develop new purely algebraic methods for handling enumerative problems over an arbitrary field, secondly, to apply these methods to central enumerative problems, recovering and unifying known results over both C and R and thirdly, to use this new approach to reveal the hidden arithmetic nature of enumerative problems. In 2009 R. Pandharipande and I applied algebraic cobordism to prove the degree zero MNOP conjecture in Donaldson-Thomas theory. More recently, I have developed several aspects of the theory of quadratic invariants using motivic homotopy theory.
Campo scientifico
Programma(i)
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
ERC-ADG - Advanced GrantIstituzione ospitante
45141 Essen
Germania