Projektbeschreibung
Neuartige Annäherungen ermöglichen die Anwendung leistungsstarker konventioneller Gleichungslöser
Partielle Differentialgleichungen sind grundlegend für unsere Beschreibung der Welt um uns herum. Sie geben uns die Möglichkeit, mathematisch zu erklären, wie sich ein bestimmtes Phänomen in Bezug auf Änderungen anderer Faktoren verändert. Mit ihnen können Dynamiken im Zusammenhang mit dem Gasaustausch im Kreislaufsystem, Veränderungen an der Börse und der Ausbreitung von Röntgenstrahlen in Materialien modelliert werden. Voll-nichtlineare partielle Differentialgleichungen sind ein besonders kniffliger Fall, für den konventionelle Lösungen möglicherweise nicht existieren oder überhaupt nicht definiert werden können. Das EU-finanzierte Projekt DAFNE wird den Grundstein legen, um Lösungsansätze mithilfe leistungsfähiger Finite-Elemente-Methoden umzusetzen, die in Bereichen von Physik und Geometrie bis hin zu Transportphänomenen und Finanzwesen zum Tragen kommen.
Ziel
Fully nonlinear partial differential equations (PDE) arise in many applications ranging from physics to economy. They are different from PDEs in mechanics, and the PDE theory relies on the generalized solution concept of so-called viscosity solutions. Monotone finite difference methods (FDM) are provably convergent for approximating viscosity solutions, but are restricted to regular meshes and low-order approximations, thus having limitations in resolving realistic geometries or dealing with local mesh refinement. As viscosity solutions are lacking smoothness properties in general, adaptive approximations are desirable. In contrast to FDM, finite element methods (FEM) offer the possibility of high-order approximations with flexibility in adaptive and automatic mesh design. However, provably convergent FEM formulations for viscosity solutions to nonvariational problems are as yet unknown.
With a background in the numerical analysis of PDEs, especially the theory of FEM and adaptive algorithms, DAFNE aims at laying the theoretical and practical foundation for the application of FEM and automatic mesh-refinement algorithms to fully nonlinear equations. The focus is on the large class of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. They originated from stochastic control problems, but more generally comprise many classical and relevant equations like Pucci's equation or the Monge-Ampère equation
with applications in finance, optimal transport, physics, and geometry.
The novel approach is to estimate local regularity properties through the control variable in the HJB formulation. This (a) gives rise to new regularization strategies and (b) indicates where the mesh needs to be refined. Both achievements are key to the design of a new FEM formulation.
The project is at the frontiers of PDE analysis, numerical analysis, and scientific computing. The long-term goal is to establish the first convergence proofs for adaptive FEM simulations of fully nonlinear phenomena.
Wissenschaftliches Gebiet
- natural sciencescomputer and information sciencescomputational science
- natural sciencesmathematicspure mathematicsgeometry
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsnumerical analysis
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-STG - Starting GrantGastgebende Einrichtung
07743 JENA
Deutschland