Opis projektu
Nowatorskie aproksymacje umożliwiają zastosowanie potężnych solwerów konwencjonalnych
Równania różniczkowe cząstkowe mają zasadnicze znaczenie dla opisu otaczającego nas świata, wyjaśniają bowiem matematycznie, jak dane zjawisko zmienia się wraz ze zmianami innych czynników. Dzięki nim jesteśmy w stanie modelować dynamikę związaną z wymianą gazową w układzie krążenia, zmianami na giełdzie oraz propagacją promieni rentgenowskich w materiałach. Całkowicie nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe są szczególnie trudnym przypadkiem. Bardzo często nie istnieją dla nich konwencjonalne rozwiązania, czasem nie są one wręcz możliwe do zdefiniowania. Finansowany ze środków UE projekt DAFNE położy podwaliny pod przygotowanie narzędzi umożliwiających ich rozwiązanie z wykorzystaniem zaawansowanych metod elementów skończonych. Będzie to miało istotny wpływ na działania w różnych dziedzinach wiedzy – od fizyki i geometrii po zjawiska transportowe i finanse.
Cel
Fully nonlinear partial differential equations (PDE) arise in many applications ranging from physics to economy. They are different from PDEs in mechanics, and the PDE theory relies on the generalized solution concept of so-called viscosity solutions. Monotone finite difference methods (FDM) are provably convergent for approximating viscosity solutions, but are restricted to regular meshes and low-order approximations, thus having limitations in resolving realistic geometries or dealing with local mesh refinement. As viscosity solutions are lacking smoothness properties in general, adaptive approximations are desirable. In contrast to FDM, finite element methods (FEM) offer the possibility of high-order approximations with flexibility in adaptive and automatic mesh design. However, provably convergent FEM formulations for viscosity solutions to nonvariational problems are as yet unknown.
With a background in the numerical analysis of PDEs, especially the theory of FEM and adaptive algorithms, DAFNE aims at laying the theoretical and practical foundation for the application of FEM and automatic mesh-refinement algorithms to fully nonlinear equations. The focus is on the large class of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. They originated from stochastic control problems, but more generally comprise many classical and relevant equations like Pucci's equation or the Monge-Ampère equation
with applications in finance, optimal transport, physics, and geometry.
The novel approach is to estimate local regularity properties through the control variable in the HJB formulation. This (a) gives rise to new regularization strategies and (b) indicates where the mesh needs to be refined. Both achievements are key to the design of a new FEM formulation.
The project is at the frontiers of PDE analysis, numerical analysis, and scientific computing. The long-term goal is to establish the first convergence proofs for adaptive FEM simulations of fully nonlinear phenomena.
Dziedzina nauki
- natural sciencescomputer and information sciencescomputational science
- natural sciencesmathematicspure mathematicsgeometry
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsnumerical analysis
Słowa kluczowe
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-STG - Starting GrantInstytucja przyjmująca
07743 JENA
Niemcy