Projektbeschreibung
Neue Erkenntnisse zu stabilen Verbindungen mit etwas Hilfe von Mathematik
Als Joseph Louis Lagrange 1762 die Minimalflächengleichung ableitete, konnte er nichts von der tiefen Verbindung zu der Theorie der Phasenübergänge ahnen, die erst zwei Jahrhunderte später entwickelt wurde. Wir alle sind mit Phasenübergängen vertraut, etwa wenn Eis schmilzt und zu Wasser wird. Doch es gibt Dutzende dieser Phasenübergänge, die für tägliche Aktivitäten und menschliche Innovationen von entscheidender Bedeutung sind: dies betrifft unter anderem Metalle in einer Legierung, die Supraleitfähigkeit, die Entscheidungsgrenzen im Finanzbereich, Flüssigkristalle, Verbrennungsvorgänge und die optimale Gestaltung von Isolierstoffen. Ungeachtet der allgegenwärtigen Natur und Bedeutung von Phasenübergängen sind unsere Fähigkeiten zur mathematischen Analyse ihres stabilen Verhaltens erstaunlich limitiert. Das EU-finanzierte Projekt StableIF kombiniert neue Fortschritte mit klassischen Instrumenten aus der Minimalflächentheorie, um mathematische Analysen zu entwickeln, die unser Verständnis stabiler Phasenübergänge erweitern.
Ziel
One of the main drivers of development for the theory of nonlinear elliptic PDE during the second half of the XX century has been the mathematical analysis of physical models for “inter- faces”. Depending on the specific model, these “interfaces” are called minimal surfaces, phase transitions, free boundaries, etc. These models are very important in applications and, due to their strong geometric content and the interdisciplinary methods required for their study, also from a “pure mathematics” perspective. One of the simplest semilinear PDE exhibiting an interface is the classical Allen-Cahn equation. Originally proposed as a model for metal alloys, it gained mathematical notoriety due to its deep connection with the minimal surface equation and many other important PDE. It is very related to the Cahn-Hiliard equation (phase separation in binary fluids), to the Peierls-Nabarro equation (crystal dislocations), and to the Ginzburg-Landau theory (phase transitions, super-conductivity). In addition, it has similarities with other important models such as Bernoulli’s free boundary problem (flame propagation and shape optimization) or the Eriksen-Leslie system (liquid crystals). In the last four decades, outstanding works led to a very deep understanding of the structure of (absolute) energy minimizers for most of the previous models. Still, up to very few exceptions, almost nothing is known today on the structure of stable solutions —i.e. (roughly speaking) minimizers with respect to sufficiently small perturbations. Since stable solutions are “the ones observable in Nature”, their understanding is a fundamental question. Even though it is a very challenging mathematical problem, all the new analysis tools developed in the last decades plus some recent progress give us now an excellent opportunity to address it. In three words, the very ambitious goal of this ERC project is to “understand stable interfaces”.
Wissenschaftliches Gebiet
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-STG - Starting GrantGastgebende Einrichtung
8092 Zuerich
Schweiz