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Stable interfaces: phase transitions, minimal surfaces, and free boundaries

Descrizione del progetto

Vedere relazioni stabili sotto una nuova luce con un piccolo aiuto dalla matematica avanzata

Quando Joseph Louis Lagrange nel 1762 derivò l’equazione delle superfici minime, non poteva di certo sospettare le sue profonde connessioni con la teoria delle transizioni di fase, che sarebbe stata sviluppata solo due secoli dopo. Conosciamo tutti alcune transizioni di fase, come lo scioglimento del ghiaccio in acqua, ma ce ne sono tantissime fondamentali per l’attività quotidiana e l’innovazione umana: metalli in una lega, superconduttività, limiti decisionali nella finanza, cristalli liquidi, combustione, progettazione ottimale di isolanti e molti altri. Nonostante la natura onnipresente e l’importanza delle transizioni di fase, la nostra capacità di analizzare matematicamente i loro comportamenti stabili è sorprendentemente limitata. Il progetto StableIF, finanziato dall’UE, combina i recenti progressi con gli strumenti classici della teoria delle superfici minime per sviluppare l’analisi matematica che migliorerà la nostra comprensione delle transizioni di fase stabili.

Obiettivo

One of the main drivers of development for the theory of nonlinear elliptic PDE during the second half of the XX century has been the mathematical analysis of physical models for “inter- faces”. Depending on the specific model, these “interfaces” are called minimal surfaces, phase transitions, free boundaries, etc. These models are very important in applications and, due to their strong geometric content and the interdisciplinary methods required for their study, also from a “pure mathematics” perspective. One of the simplest semilinear PDE exhibiting an interface is the classical Allen-Cahn equation. Originally proposed as a model for metal alloys, it gained mathematical notoriety due to its deep connection with the minimal surface equation and many other important PDE. It is very related to the Cahn-Hiliard equation (phase separation in binary fluids), to the Peierls-Nabarro equation (crystal dislocations), and to the Ginzburg-Landau theory (phase transitions, super-conductivity). In addition, it has similarities with other important models such as Bernoulli’s free boundary problem (flame propagation and shape optimization) or the Eriksen-Leslie system (liquid crystals). In the last four decades, outstanding works led to a very deep understanding of the structure of (absolute) energy minimizers for most of the previous models. Still, up to very few exceptions, almost nothing is known today on the structure of stable solutions —i.e. (roughly speaking) minimizers with respect to sufficiently small perturbations. Since stable solutions are “the ones observable in Nature”, their understanding is a fundamental question. Even though it is a very challenging mathematical problem, all the new analysis tools developed in the last decades plus some recent progress give us now an excellent opportunity to address it. In three words, the very ambitious goal of this ERC project is to “understand stable interfaces”.

Meccanismo di finanziamento

ERC-STG - Starting Grant

Istituzione ospitante

EIDGENOESSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZUERICH
Contribution nette de l'UE
€ 1 348 125,00
Indirizzo
Raemistrasse 101
8092 Zuerich
Svizzera

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Regione
Schweiz/Suisse/Svizzera Zürich Zürich
Tipo di attività
Higher or Secondary Education Establishments
Collegamenti
Costo totale
€ 1 348 125,00

Beneficiari (2)