Skip to main content

Hamiltonian Actions and Their Singularities

Article Category

Article available in the folowing languages:

Nowe metody matematycznego opisu ruchu

Złożona analiza matematyczna problemów dotyczących mechaniki klasycznej i kwantowej, prowadzona w ramach finansowanego ze środków UE projektu, przyniosła nowe odkrycia dotyczące niestabilności układów dynamicznych. Są one istotne w kontekście opisywania różnych zjawisk, takich jak obroty planet i gwiazd.

Technologie przemysłowe

Dobrze znana geometria euklidesowa sprawdza się w pomiarach wielkości jednowymiarowych, takich jak długość czy kąt. Geometria symplektyczna pozwala natomiast opisywać obiekty o parzystej liczbie wymiarów (np. 2D, 4D i 6D). Idea struktury symplektycznej narodziła się w oparciu o badanie klasycznych układów mechanicznych, takich jak planety krążące wokół słońca, poruszające się wahadła czy słynne newtonowskie spadające jabłko. Trajektorię takich układów daje się precyzyjnie określić, jeżeli znamy ich położenie i prędkość (czy też, bardziej dokładnie, pęd). Fizyka kwantowa i zasada nieoznaczoności Heisenberga doprowadziły do zmian w matematyce. Nawiązując do powyższego przykładu: nie można już powiedzieć, że cząsteczka znajduje się w jednym punkcie; zajmuje ona miejsce w jakimś obszarze przestrzeni, definiowanym przez dwie współrzędne położenia i dwie współrzędne prędkości (w sumie daje to cztery wymiary). Rozwój teorii matematycznych pozwolił naukowcom wykorzystać do badania symetrii struktur geometrycznych tzw. grupy Liego, które umożliwiają znaczne "zmniejszenie" przestrzeni geometrycznej (wymiaru) bez utraty dokładności i przejrzystości. Obserwacja osobliwości matematycznych, tj. punktów, w których dany obiekt matematyczny jest nieokreślony lub nie zachowuje się zgodnie z określonymi zasadami matematycznymi, niesie ważne implikacje dla stabilności dynamicznej układów mechanicznych, a także niestateczności rozwiązań matematycznych. Uczestnicy projektu "Działania Hamiltona i ich osobliwości" (Hamacsis) zajmowali się złożonymi prawami matematycznymi określającymi układy mechaniczne i dynamiczne, ponieważ właśnie równania Hamiltona pozwalają połączyć mechanikę klasyczną z kwantową. Wśród wielu osiągnięć projektu Hamacsis można wymienić dokładne zbadanie tzw. wiązek kostycznych wektorów, które pozwoliły opisać zmniejszone przestrzenie w przypadku działań symetrycznych i osobliwości. Ponadto naukowcy wykazali, w jaki sposób osobliwości działań symetrycznych w kilku typach układów mechanicznych i dynamicznych wpływają na właściwości stabilności. Zjawisko to dotyczy fizycznie obserwowanych ruchów ustalonych, np. wirujących ciał czy obracających się planet i gwiazd. Złożone i nowatorskie rozwiązania matematyczne opracowane przez uczestników projektu Hamacsis zostały opisane w licznych publikacjach w czasopismach naukowych. Osiągnięcia te pozwalają nam znacznie lepiej zrozumieć mechanikę klasyczną i kwantową związaną z ruchem złożonych układów dynamicznych.

Znajdź inne artykuły w tej samej dziedzinie zastosowania