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Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory

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Homotopietheorie höherer Kategorien

Die Homotopietheorie ist aus der überraschenden Verbindung der algebraischen Topologie mit der homologischen Algebra hervorgegangen, wobei es Beziehungen zur höheren Kategorientheorie gibt. EU-finanzierte Forscher haben nun neue spannende Verknüpfungen zwischen den beiden fundamentalen Zweige der Mathematik untersucht.

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Ähnlich wie die Äquivalenz bei der Interpretation mathematischer Gleichungen beinhaltet die Theorie der topologischen Räume das Äquivalenzaxiom. In der Homotopie werden zwei topologische Räume als gleich betrachtet, wenn sie in den jeweils anderen umgeformt werden können. Im Rahmen des EU-finanzierten Projekts HOMALGHIGH (Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory) wollten die Mathematiker diese Idee von der Homotopie zwischen topologischen Räumen ausnutzen. Zu diesem Zweck wurden Ideen und Verfahren der Homotopietheorie auf die höhere Kategorientheorie angewandt. Gemäß der höheren Kategorientheorie ordnet man die zu untersuchenden Objekte in Kategorien ein und bietet man eine gemeinsame Sprache an, um sie zu beschreiben — die der schwachen n-Kategorien. In der Informatik und der Physik tauchen beispielsweise Kategorien topologischer Räume und anderer komplexer Strukturen auf. Die HOMALGHIGH-Mathematiker konzentrierten sich auf Strukturen, die einfachen algebraischen ähneln, aber in der Realität komplexer sind. Mit Hilfe des sogenannten Erstarrungsverfahrens wurden Wege erdacht, um ein Homotopieäquivalent für einfachere Strukturen zu finden. Eine Erstarrung schwacher n-Kategorien resultierte in einem neuen wichtigen Typ höherer Kategorienstrukturen, sogenannten globulären n-fachen Kategorien. Mathematiker haben bewiesen, dass diese den klassischen Strukturen der Bikategorien gleichwertig sind, die in der Homotopietheorie allgegenwärtig sind. Man suchte gleichermaßen neue Möglichkeiten zur Beschreibung der Bausteine einer speziellen Klasse von topologischen Räumen, den sogenannten n-Typen, sowie zur Berechnung von Invarianten iterativer Schleifenräume. Als topologische Räume bieten diese kontinuierliche Abbildungen von einem Kreis in einen anderen topologischen Raum, den Schleifenraum. Die Resultate von HOMALGHIGH, die nun den Weg zu Anwendungen öffnen, sind in einer Serie von Veröffentlichungen beschrieben worden, die im arXiv repository zu finden sind. Es ist jedoch ein besseres Verständnis der Verbindungen zwischen Homotopie und höheren Kategorientheorien erforderlich, um die vielen Herausforderungen zu meistern, die bei der praktischen Umsetzung der Informatikanwendungen bestehen.

Schlüsselbegriffe

Homotopietheorie, algebraische Topologie, homologische Algebra, höhere Kategorientheorie, Mathematik, HOMALGHIGH

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