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Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory

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La théorie de l'homotopie des catégories supérieures

La théorie de l'homotopie a émergé de la connexion surprenante de la topologie algébrique et de l'algèbre homologique avec des relations avec la théorie de la catégorie supérieure. Des chercheurs financés par l'UE ont étudié de nouvelles associations intéressantes entre les deux branches fondamentales des mathématiques.

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D'une manière semblable à l'interprétation des équations mathématiques, la théorie des espaces topologiques ajoute un axiome d'équivalence. En matière d'homotopie, deux espaces topologiques sont considérés comme étant identiques si l'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue. Au sein du projet HOMALGHIGH (Homotopy algebras in homotopy theory and higher category theory), financé par l'UE, les mathématiciens ont cherché à capitaliser sur cette idée d'homotopie entre les espaces topologiques. Pour ce faire, des idées et techniques de la théorie d'homotopie ont été appliquées à la théorie de la catégorie supérieure. La théorie de la catégorie supérieure organise ses objets d'étude en catégories et offre un langage commun pour les décrire — ceux des catégories n faibles. Par exemple, dans l'informatique et la physique, il existe des catégories d'espaces topologiques et d'autres structures complexes apparaissent. Les scientifiques du projet HOMALGHIGH se sont intéressés à des structures algébriques qui semblent simples mais qui sont en fait complexes. Via le processus dit de rigidification, des moyens ont été trouvés pour leur donner une équivalence d'homotopie en structures plus simples. La rigidification pour les catégories n faibles a donné un nouveau type important de structures catégoriques supérieures, appelées catégories globulaires à n plis. Les mathématiciens ont montré que ce sont des équivalents des structures classiques des bi-catégories qui sont généralisées dans la théorie de l'homotopie. De nouveaux moyens ont également été cherchés pour décrire les blocs fonctionnels d'une classe spécifique d'espaces topologiques appelés types n et pour calculer les invariants des espaces des boucles. En termes topologiques, ils sont équivalent au mappage continu depuis un cercle vers un autre espace topologique, celui des boucles. Les résultats de HOMALGHIGH qui ouvrent la voie à des applications ont été décrits dans une série de publications téléchargées sur le site arXiv repository. Une meilleure compréhension des connexions entre l'homotopie et les théories de catégorie supérieure est toutefois nécessaire pour traiter les nombreux défis rencontrés dans l'implémentation pratique des applications informatiques.

Mots‑clés

Théorie de l'homotopie, topologie algébrique, algèbre homologique, théorie de catégorie supérieure, mathématiques, HOMALGHIGH

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