Funktionelle Karten von 3D-Formen
Die Suche nach einem Abbild zwischen zwei 3D-Formen ist ein fundamentales Problem der Computergrafik und findet Anwendung beim Morphing, der Geometriesynthese und der Animation. Der Standardansatz für dieses Problem besteht darin, einen Raum von möglichen Abbildern auf Basis von Korrespondenzen zwischen ähnlichen Teilen zu suchen. Das EU-geförderte Projekt GEN-MAPS-3D-SHAPES (Generalized maps for the analysis of 3D shapes and shape collections) konzentrierte sich auf die Analyse und Visualisierung eines gegebenen Abbildes. Motiviert wurden die Forscher durch das Fehlen von Metriken für die Map-Auswertung, die Bereiche aufzuzeigen, wo Abbilder bestimmte Qualitätskriterien nicht erfüllen. Die Forscher schlugen vor, diese Herausforderung in einer einheitlichen Art und Weise anzugehen, und zwar durch die funktionelle Darstellung der Map und durch die Durchführung von Spektralanalyse auf dieser Darstellung. Die neue Methode liefert detaillierte Multiskaleninformationen über die durch die Map eingeführte Verzerrung. In diesem neuen Konzept setzt die funktionale Kartendarstellung reellwertige Funktionen statt Punkte auf den Formen in Übereinstimmung. Das Team von GEN-MAPS-3D-SHAPES demonstrierte, dass solche Funktionskarten ein leistungsfähiges Werkzeug bieten, um Maps zwischen Formen sowie Sammlungen solcher Maps zu visualisieren. Ihr nächster Schritt war die Definition eines funktionellen Operators, der die Unterschiede zwischen zwei Formen als vergleichbare Objekte statt nur Abstände zwischen Punkten beschreibt. Das machte es leichter, Formunterschiede und Variabilität in einer ganzen Formensammlung zu berechnen. Die Nutzung des Operators zur Ausrichtung zweier Formensammlungen bot einen intrinsischen Weg, um Unterschiede zwischen den Formen sowie Formanalogien zu berechnen und um die intrinsische Variabilität in den Sammlungen zu parametrisieren. Um die Sammlungen abzugleichen, lösten die Forscher eine Reihe von linearen Gleichungen. Vor Abschluss des Projekts GEN-MAPS-3D-SHAPES erweiterten die Forscher die Toolbox von funktionellen Operatoren für Tangenten-Vektorfelder auf Oberflächen. Die Erforschung der neuen Operatoreneigenschaften und der Entwurf effizienter Methoden für ihre Berechnung führten zu einer breiten Palette von Anwendungen über die Formanalyse hinaus. Funktionelle Vektorfelddarstellungen fanden Anwendungen bei Strömungssimulationen von viskoser Flüssigkeit, wobei komplizierte Fingering-Effekte festgehalten wurden. Die Simulationen erwiesen sich als robust und effizient, da sie auf neuen Formulierungen in Bezug auf den Massentransport beruhten.
Schlüsselbegriffe
3D-Formen, Computergrafik, GEN-MAPS-3D-SHAPES, Kartendarstellung, funktionaler Operator