Funkcjonalne odwzorowania kształtów 3D
Znalezienie odwzorowania między dwoma kształtami 3D należy do podstawowych problemów grafiki komputerowej, znajdujących zastosowanie w morfingu, syntezie geometrii i animacji. Standardowe podejście do rozwiązania tego problemu polega na poszukiwaniu przestrzeni możliwych odwzorowań opartych na odpowiedniości między podobnymi do siebie częściami. Uczestnicy projektu GEN-MAPS-3D-SHAPES (Generalized maps for the analysis of 3D shapes and shape collections), finansowanego ze środków UE, skupili się na analizie i wizualizacji danego odwzorowania. Motywacją dla badaczy był brak metryki do oceny odwzorowań, umożliwiającej ustalanie, w których miejscach odwzorowania nie spełniają określonych kryteriów jakości. Naukowcy zaproponowali, by podejść do tego problemu w sposób ujednolicony poprzez funkcjonalną reprezentację odwzorowania i przeprowadzenie analizy spektralnej na tej reprezentacji. Nowa metoda dostarcza szczegółowych, wieloskalowych informacji o odkształceniu odwzorowania. W tym nowym podejściu reprezentacja odwzorowań funkcjonalnych tworzy zależności między funkcjami o rzeczywistych wartościach, a nie punktami na kształtach. Zespół GEN-MAPS-3D-SHAPES dowiódł, że takie odwzorowania funkcjonalne są skutecznym narzędziem do wizualizacji odwzorowań między kształtami, a także zbiorów takich odwzorowań. Kolejnym zadaniem było zdefiniowanie operatora funkcjonalnego opisującego różnice między dwoma kształtami jako porównywalnymi obiektami a nie tylko odległościami. Ułatwiło to obliczanie różnic kształtów i zmienności w całym zbiorze kształtów. Zastosowanie operatora do dopasowania dwóch zbiorów kształtów stanowi intrygujący sposób na analizowanie różnic między kształtami, a także analogii między kształtami oraz parametryzacji zmienności charakterystycznej dla zbiorów. Aby porównać zbiory, uczeni rozwiązali szereg równań liniowych. Jeszcze przed zakończeniem projektu GEN-MAPS-3D-SHAPES uczeni poszerzyli zestaw operatorów funkcjonalnych o styczne pola wektorowe na powierzchniach. Badanie właściwości nowych operatorów oraz skuteczne metody ich obliczania mogą zostać zastosowane w wielu dziedzinach, wykraczających poza analizę kształtów. Reprezentacje funkcjonalnych pól wektorowych są wykorzystywane do symulacji przepływu lepkich płynów, gdzie pozwalają na wychwytywanie skomplikowanych zjawisk "viscous fingering". Symulacje są skuteczne i wydajne dzięki oparciu na nowych wzorach przenikania masy.
Słowa kluczowe
Kształty 3D, grafika komputerowa, GEN-MAPS-3D-SHAPES, odwzorowanie, operator funkcjonalny