Mappe funzionali 3D
Trovare una mappa tra due forme 3D rappresenta un problema fondamentale nella computer grafica, con applicazioni in trasformazione delle immagini, sintesi di geometria e animazione. L’approccio standard per questo problema è quello di cercare uno spazio di possibili mappe costruite sulla base di corrispondenze tra le parti simili. Il progetto GEN-MAPS-3D-SHAPES (Generalized maps for the analysis of 3D shapes and shape collections), finanziato dall’UE, si è concentrato sull’analisi e la visualizzazione di una determinata mappa. I ricercatori sono stati motivati dalla mancanza di misurazioni per la valutazione delle mappe, in grado di mettere in evidenza le aree in cui queste non soddisfano determinati criteri di qualità. È stato proposto di affrontare tale sfida in modo unitario, per mezzo della rappresentazione funzionale relativa alla mappa e dell’esecuzione di analisi spettrale su questa rappresentazione. Il nuovo metodo fornisce informazioni multi-scala dettagliate per la distorsione introdotta dalla mappa. In questo approccio, la rappresentazione di mappe funzionali mette in corrispondenza funzioni a valori reali, anziché punti in relazione alle forme. Il team GEN-MAPS-3D-SHAPES ha dimostrato che tali mappe funzionali forniscono un potente strumento per la visualizzazione di mappe tra le forme, così come di raccolte di tali mappe. L’attività successiva ha riguardato la definizione di un operatore funzionale in grado di descrivere le differenze tra due forme come oggetti comparabili, a differenza delle mere distanze dai punti. Ciò ha semplificato il calcolo relativo a differenze tra le forme e variabilità, in un’intera raccolta di forme. L’utilizzo dell’operatore per allineare due raccolte di forme ha fornito un metodo intrinseco ai fini del calcolo di differenze e analogie tra le forme, e per la parametrizzazione della variabilità intrinseca presente nelle raccolte. Con lo scopo di allineare correttamente le raccolte, i ricercatori hanno risolto un insieme di equazioni lineari. Prima del completamento del progetto GEN-MAPS-3D-SHAPES, i ricercatori hanno esteso gli insiemi di operatori funzionali ai campi vettoriali tangenti sulle superfici. L’esplorazione delle nuove proprietà relative agli operatori e la progettazione di metodi efficienti per il loro calcolo ha portato a una vasta gamma di applicazioni, le quali vanno oltre l’analisi delle forme. Le rappresentazioni funzionali del campo vettoriale hanno trovato applicazioni per simulazioni di flusso relativo a fluidi viscosi, catturando complessi effetti di fingering. Le simulazioni hanno dimostrato di essere robuste ed efficienti, poiché si sono basate su nuove formulazioni in termini di trasporto di massa.