Le virage multivalué de la logique
L'idée de considérer une véracité intermédiaire pour étendre le concept manichéen de «vrai» et «faux», a été largement utilisée depuis les années 1920 par Jan Łukasiewicz et d'autres. Cette logique à trois valeurs représente l'un des meilleurs candidats pour le raisonnement flou, et elle a été généralisée à des variantes ayant plusieurs valeurs (multivaluées) ou même une infinité. Le concept d'algèbres multivaluées s'est appuyé sur les travaux de Łukasiewicz et a été proposé peu après, tout comme la logique classique à 2 valeurs a donné le jour aux algèbres de Boole. Le projet TOPREPMVALG (Topological representation of MV-algebras), financé par l'UE, a travaillé à une théorie de représentation topologique qui permettra de décrire complètement toutes les relations possibles entre les diverses algèbres multivaluées. Les travaux ont porté sur diverses classes d'algèbres multivaluées ainsi que sur d'autres structures mathématiques associées. Ils ont dégagé des dualités entre des algèbres multivaluées fortement semi-simples, des algèbres multivaluées polyédriques, et bien d'autres encore. Les chercheurs ont alors appliqué ces dualités pour étudier des problèmes non résolus comme la caractérisation d'algèbres multivaluées projectives de type fini. Les résultats ont trouvé des applications dans d'autres domaines mathématiques. Par exemple, les automorphismes d'algèbres multivaluées sont intrinsèquement connectés avec le groupe affine linéaire général sur les entiers. Le projet TOPREPMVALG s'est traduit par de nombreuses publications dans des revues prestigieuses. Plus important encore, il a ouvert une voie de recherche prometteuse car les algèbres et la logique de Łukasiewicz ne sont pas seulement des outils puissants: ils apportent un cadre conceptuel naturel afin de généraliser des notions mathématiques fondamentales pour le raisonnement flou.
Mots‑clés
Multivalué, logique, raisonnement flou, algèbres multivalués, représentation topologique, TOPREPMVALG
