Wielowartościowy zwrot w logice
Logika wielowartościowa dostarcza narzędzi konceptualnych do formalnego opisania rozmytych, niejasnych i niepewnych informacji. W ostatnich latach nastąpił rozkwit badań nad tymi systemami logicznymi, a to za sprawą nowych wniosków naukowych dotyczących najbardziej różnorodnych obszarów matematyki. Mowa tu przede wszystkim o algebrach wielowartościowych — semantycznym odpowiedniku logiki trójwartościowej Łukasiewicza — które przykuły uwagę naukowców. W projekcie ADAMS (A dual approach to many-valued semantics), finansowanym ze środków UE, naukowcy przyglądali się dualnym kategoriom algebr wielowartościowych. Efektem uogólnienia klasycznego dualnego zespolenia ideałów wielomianów i rozmaitości liniowej z algebrą wielowartościową jest zespolenie tej ostatniej z przestrzenią Tichonowa. Odpowiednie przystosowanie do zespolenia prowadziło do uzyskania dualności algebr wielowartościowych skończenie generowanych i wielościanów wymiernych. Naukowcy ustalili, które elementy teorii algebr wielowartościowych są niezbędne do otrzymania wyników, mając na uwadze przyszłe zastosowania w innych działach algebry. Przed końcem projektu ADAMS algebraiczne podejście do formuł kanonicznych otworzyło drogę do jego zastosowania w logice nieklasycznej. Formuły kanoniczne umożliwiły spójne rozszerzenie logiki intuicjonistycznej i modalnej. W proponowanym podejściu formuły kanoniczne składają się ze skończonych, nieredukowalnych zdań algebraicznych i opisują zachowanie niektórych operacji w sposób kompletny, a innych jedynie częściowo. To narzędzie może być rozszerzone na więcej dziedzin logiki substrukturalnej dzięki właściwości zanurzalności grupy skończenie generowanej (finite embeddability property, FEP). Z jednej strony, FEP jest kluczową właściwością, dzięki której formuły kanoniczne sprawdzają się, a z drugiej — łączy logikę substrukturalną z logiką wielowartościową. Ten kierunek prac badawczych dostarczył narzędzi do połączenia formuł kanonicznych z dualizmami logiki nieklasycznej. Wnioski z projektu ADAMS na temat związku formuł kanonicznych i dualizmów zostały omówione w siedmiu artykułach już opublikowanych lub szykowanych do publikacji w prestiżowych międzynarodowych czasopismach.