Un couplage effectif de modèles mathématiques
Des problèmes hétérogènes ou multiphysiques se produisent dans de nombreuses applications pratiques: à chaque fois que différents phénomènes physiques doivent être pris en compte dans deux ou plusieurs partitions du domaine informatique ou quand des modèles simplifiés sont utilisés localement pour réduire la complexité générale des calculs. Le projet HEVICO (Virtual control methods for coupling heterogeneous problems) a étudié une nouvelle technique mathématique et numérique fondée sur une théorie de contrôle optimal pour coupler des problèmes hétérogènes décrits par des équations différentielles partielles. Le travail s'est appuyé sur le cadre bien établi fourni par les méthodes de décomposition de domaine pour les problèmes multiphysiques et sur un contrôle optimal pour les équations aux dérivées partielles. Les chercheurs ont étudié une classe de techniques particulière, appelée méthodes de décomposition de domaine par contrôle des interfaces (interface control domain decomposition - ICDD), pour gérer l'hétérogénéité intrinsèque des problèmes posés. La première partie du projet était consacrée à l'étude des ICDD concernant les problèmes elliptiques et les équations de Stokes. En s'appuyant sur les résultats encourageants obtenus dans cette phase, la seconde partie s'est surtout concentrée sur le problème couplé Stokes-Darcy, un modèle intéressant pour de nombreuses applications. Applicable aux processus de filtration dans des milieux poreux, il peut être appliqué à divers contextes tels que la filtration à membrane, la géophysique (par ex.: la filtration de l'eau dans le sol) et la biomédecine (par ex.: la filtration du sang dans les tissus humains). La méthode ICDD permet de coupler différemment les équations de Stokes et de Darcy à partir de l'approche la plus courante fondée sur ce qu'on appelle la condition de Beavers-Joseph. L'un des avantages de la méthode ICDD est qu'elle ne nécessite pas d'autre modélisation de la zone de transition. Les chercheurs ont comparé la nouvelle approche à des méthodes plus anciennes. Les résultats numériques relatifs à la vélocité et la pression des fluides estimés par la méthode ICDD étaient parfaitement en accord avec ceux fournis par des techniques plus consolidées. La méthode s'est également avérée fiable et beaucoup plus facile à appliquer que des algorithmes basés sur des décompositions sans chevauchement du domaine informatique. Les contributions majeures de ce projet sont doubles. Il a fourni de nouveaux algorithmes de résolution de problèmes hétérogènes particuliers tels que le couplage entre des équations d'advection-diffusion et des équations d'advection pure. Et, l'analyse effectuée indique qu'il apporte une base solide d'application de la méthode ICDD à de nombreux problèmes hétérogènes.
Mots‑clés
Multiphysique, HEVICO, problèmes hétérogènes, équations différentielles partielles, décomposition de domaine par contrôle des interfaces
