Skuteczne łączenie modeli matematycznych
Problemy heterogeniczne lub wielofizyczne pojawiają się w wielu zastosowaniach praktycznych: gdy konieczne jest uwzględnienie różnych zjawisk fizycznych w dwóch lub większej liczbie podregionów domeny obliczeniowej, lub gdy uproszczone modele są stosowane lokalnie w celu zmniejszenia ogólnej złożoności obliczeniowej. Zespół projektu HEVICO (Virtual control methods for coupling heterogeneous problems) badał nową technikę matematyczną i numeryczną opartą na teorii kontroli optymalnej w celu łączenia problemów heterogenicznych opisywanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Prace opierały się na dobrze skonsolidowanych ramach zapewnionych przez metody rozkładu domeny dla problemów wielofizycznych oraz na optymalnej kontroli równań różniczkowych cząstkowych. Naukowcy badali szczególną klasę technik, nazywanych metodami rozkładu domeny kontroli interfejsu (ICDD), w celu zbadania wewnętrznej heterogeniczności problemów będących przedmiotem zainteresowania. Pierwsza część projektu była poświęcona badaniu ICDD w problemach eliptycznych oraz równaniach Stokesa. Po uzyskaniu zachęcających wyników w tej fazie w drugim etapie skupiono się głównie na problemie Stokesa-Darcy’ego — modelu będącym przedmiotem zainteresowania w wielu zastosowaniach. Dotyczy on procesów filtracji przez porowate podłoża i można go zastosować w wielu kontekstach, takich jak filtracja membranowa, geofizyka (np. filtracja wody przez glebę) i biomedycyna (np. filtracja krwi przez tkanki człowieka). Metoda ICDD zapewnia inny sposób łączenia równań Stokesa i Darcy'ego niż w przypadku najbardziej powszechnego podejścia opartego na tzw. warunku Beaversa-Josepha. Jedną z zalet metody ICDD jest to, że nie jest wymagane dalsze modelowanie obszaru przejścia. Naukowcy porównali nowe podejście ze starszymi metodami. Wyniki liczbowe dotyczące prędkości i ciśnienia cieczy szacowane metodą ICDD wykazywały wysoką zgodność z danymi dostarczonymi przy użyciu innych, bardziej skonsolidowanych technik. Wykazano również, że metoda ta jest niezawodna i znacznie łatwiejsza do zastosowania niż algorytmy oparte na niezachodzących na siebie rozkładach domeny obliczeniowej. Główne korzyści zapewnione przez projekt były dwojakie. Zapewniono nowe algorytmy rozwiązywania szczególnych problemów heterogenicznych, takich jak połączenie pomiędzy równaniami adwekcji-dyfuzji oraz czystej adwekcji. Wyniki analizy wskazują również, że metoda ta stanowi solidną podstawę do stosowania metody ICDD w rozwiązywaniu wielu innych problemów heterogenicznych.
Słowa kluczowe
Wielofizyka, HEVICO, problemy heterogeniczne, równania różniczkowe cząstkowe, rozkład domeny kontroli interfejsu
