Die effektiv Kopplung mathematischer Modelle
Heterogene oder multiphysikalische Probleme kommen bei vielen praktischen Anwendungen vor: wenn verschiedene physikalische Phänomene müssen in zwei oder mehr Teilbereichen der Berechnung betrachtet werden müssen oder wenn vereinfachte Modelle lokal verwendet werden, um die Gesamtberechnungskomplexität zu verringern. Das Projekt HEVICO (Virtual control methods for coupling heterogeneous problems) untersuchte eine neue mathematische und numerische Technik basierend auf der optimalen Steuerungstheorie, um durch partielle Differentialgleichungen beschriebene heterogene Probleme zu koppeln. Die Arbeiten bauten auf dem gut konsolidierten Rahmen der Domänenzerlegungsmethoden für multiphysikalische Probleme und einer optimalen Steuerung für partielle Differentialgleichungen auf. Die Forscher untersuchten eine bestimmte Klasse von Techniken, auch als Methoden der Interface-Kontrolldomäne-Zerlegung (ICDD) bezeichnet, um intrinsische Heterogenität von zu untersuchenden Problemen zu behandeln. Der erste Teil des Projekts widmete sich der Untersuchung von ICDD für elliptische Probleme und die Stokes-Gleichungen. Auf Grundlage der ermutigenden Ergebnisse aus dieser Phase konzentrierte man sich im zweiten Teil in erster Linie auf das Stokes-Darcy-Problem, ein Modell, das für viele Anwendungen von Interesse ist. Im Kontext von Filtrationsprozessen durch poröse Medien kann es etwa in den Bereichen Membranfiltration, Geophysik (z.B. zur Filtration von Wasser durch den Erdboden) und Biomedizin (z.B. Filtration von Blut durch menschliches Gewebe) eingesetzt werden. Die ICDD-Methode ermöglicht die Kopplung der Stokes- und der Darcy-Gleichungen auf eine andere Weise, als es der am häufigsten verwendete Ansatz auf Grundlage der sogenannten Biber-Joseph-Bedingung tut. Einer der Vorteile von ICDD ist, dass keine weitere Modellierung des Übergangsbereichs erforderlich ist. Die Forscher verglichen das neue Konzept mit älteren Methoden. Numerische Ergebnisse aus ICDD-Schätzungen für Geschwindigkeit und Druck von Flüssigkeiten stimmten sehr gut mit denen aus anderen, konsolidierteren Techniken überein. Das Verfahren erwies sich auch als robust und viel einfacher umzusetzen als Algorithmen, die auf nicht überlappenden Domänenzerlegungen basieren. Die wichtigsten Beiträge dieses Projekts sind von doppelter Bedeutung: Für bestimmte heterogene Probleme, wie etwa die Kopplung zwischen Advektionsdiffusion und reinen Advektionsgleichungen, wurden neue Lösungsalgorithmen zur Verfügung gestellt. Außerdem zeigt die Analyse, dass das Verfahren ein stabiles Fundament für die Anwendung von ICDD auf viele andere heterogene Probleme bietet.
Schlüsselbegriffe
Multiphysikalisch, HEVICO, heterogene Probleme, partielle Differentialgleichungen, Interface-Kontrolldomäne-Zerlegung
