De nouvelles théories de la logique
En général, les logiciens évitent les paradoxes. Certains affirment toutefois que les paradoxes peuvent être mis à profit dans les mathématiques, la philosophie et la sémantique, devenant ainsi une source d'enrichissement. Le projet PPP (Plurals, predicates, and paradox: Towards a type-free account) a fait valoir que l'on ne disposait jusqu'ici d'aucune solution acceptable pour les paradoxes logiques. Cet argument s'opposait au consensus dans ce domaine. Les travaux du consortium portaient sur quatre domaines principaux. Le projet PPP a constaté la nécessité d'une logique d'ordre supérieur, permettant la quantification dans des prédicats et des expressions nominales plurielles. Un autre développement a été l'idée radicalement nouvelle d'une relation entre la logique d'ordre supérieur et la logique de premier ordre. L'équipe a fait valoir que les blocages conventionnels des paradoxes logiques ne sont pas nécessaires, et sont en fait bénéfiques, à condition qu'ils soient résolus par d'autres moyens. Les chercheurs ont créé une approche modale des mathématiques. Elle incarne la notion que les objets mathématiques tels que les ensembles peuvent être générés indéfiniment. La nouvelle solution au paradoxe permet de conserver une interprétation plus rationnelle concernant les ensembles qu'il n'est généralement le cas dans la logique. Les résultats créent une motivation nouvelle et naturelle pour des axiomes de la théorie des ensembles ZFC . L'équipe a également développé de nouveaux outils, basés sur la notion de fondation de Kripke, qui protègent contre l'effondrement de la logique supérieure et de la logique de premier ordre. Les résultats comportent plusieurs nouvelles théories de classes fondées, une description générale de la notion de fondation, et de nouveaux travaux sur la logique de fondation. Les travaux du projet se sont traduits par 20 articles publiés dans des revues à comité de lecture, 8 autres en cours de révision, et 10 articles d'anthologie. Les membres ont également organisé 16 ateliers, une conférence avec université d'été, et une série de séminaires. Le projet PPP a démontré que les paradoxes logiques ne doivent pas nécessairement être troublants. Il a également fourni des solutions alternatives.
Mots‑clés
Logique, paradoxes, logique d'ordre supérieur, logique de premier ordre, théorie des ensembles ZFC
