Nowe teorie w dziedzinie logiki
Logicy zazwyczaj unikają paradoksów. Niektórzy twierdzą jednak, że paradoksy mogą stanowić źródło informacji użytecznych w matematyce, filozofii i semantyce. Zespół finansowanego ze środków UE projektu PPP (Plurals, predicates, and paradox: Towards a type-free account) stwierdził, że nie znaleziono jeszcze zadowalającego rozwiązania paradoksów logicznych. Ten argument zaprzeczał powszechnemu poglądowi w tej dziedzinie. Prace konsorcjum skupiały się na czterech głównych obszarach. Zespół projektu PPP dostrzegł potrzebę zastosowania logiki wyższego rzędu, która umożliwia kwantyfikację w pozycjach orzeczników i wyrażeń rzeczownikowych w liczbie mnogiej. Kolejnym osiągnięciem było wprowadzenie radykalnie nowego konceptu powiązań pomiędzy logiką wyższego rzędu a logiką pierwszego rzędu. Zespół stwierdził, że konwencjonalne blokady paradoksów logicznych są zbędne i w rzeczywistości korzystne. Ten argument dodatkowo podkreślił, że paradoksy logiczne należy rozwiązywać w inny sposób. Badacze opracowali modalne podejście do matematyki. Odzwierciedla ono założenie, że obiekty matematyczne, takie jak zestawy, mogą być generowane w sposób nieskończony. Nowe rozwiązanie paradoksu umożliwia bardziej zdroworozsądkową interpretację danych dotyczących zestawów w porównaniu do ogólnego podejścia w logice. Wyniki projektu zapewniają nową i naturalną motywację aksjomatów teorii mnogości ZFC. Zespół opracował także nowe narzędzia, oparte na pojęciu ugruntowania Kripkego, które zabezpieczają przed przejściem od logiki wyższego rzędu do logiki pierwszego rzędu. Wyniki projektu obejmują kilka nowych teorii ugruntowanych klas, ogólny opis ugruntowania oraz nowe badania nad logiką ugruntowania. W ramach projektu opublikowano 20 artykułów w czasopismach branżowych, a kolejne 8 jest obecnie recenzowanych. Wydano również 10 artykułów w antologiach. Członkowie projektu zorganizowali ponadto 16 warsztatów, 1 konferencję w ramach szkoły letniej, a także serię seminariów. Zespół projektu PPP wykazał, że paradoksy logiczne nie muszą być problemem. Zespół zapewnił alternatywne rozwiązania.
Słowa kluczowe
Logika, paradoksy, logika wyższego rzędu, ugruntowanie, logika pierwszego rzędu, teoria mnogości ZFC