Neue Theorien der Logik
Normalerweise vermeiden Logiker Paradoxien. Manche von ihnen sagen jedoch, dass Paradoxien in der Mathematik, Philosophie und Semantik einem guten Zweck dienen können, um zu einer Quelle der Erkenntnis zu werden. Das EU-finanzierte Projekt PPP (Plurals, predicates, and paradox: Towards a type-free account) argumentierte, dass bislang keine akzeptable Lösung für logische Paradoxien gefunden werden konnte. Das Argument richtete sich gegen die vorherrschende Meinung auf diesem Gebiet. Die Arbeit des Konsortiums widmete sich vier Hauptbereichen. PPP identifizierte einen Bedarf an Logiken höherer Stufe (higher-order logic, HOL), welche eine Quantifizierung bei Positionen von Prädikaten und Pluralformsätzen erlauben. Eine weitere Entwicklung bestand in einer radikal neuen Vorstellung von dem Zusammenhang zwischen HOL und der Logik erster Stufe (first-order logic, FOL). Das Team argumentierte, dass konventionelle Blockaden logischer Paradoxien unnötig und in Wirklichkeit sogar von Vorteil sind. Das Argument ergänzte die Bedingung, dass die Paradoxien auf andere Weise gelöst werden müssen. Die Forscher erschufen einen modalen Ansatz für die Mathematik. Diese Entwicklung verkörpert die Idee, dass mathematische Objekte wie etwa Mengen endlos erzeugt werden können. Die neue Lösung für das Paradox gestattet es, die Interpretation von Mengen mit mehr gesundem Menschenverstand anzugehen, als das als im Allgemeinen in der Logik der Fall ist. Die Resultate ermöglichen eine neue und natürliche Motivierung für die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC). Das Team entwickelte zudem neue Instrumente auf Grundlage von Kripkes Auffassung von Begründetheit, die vor Einbrüchen der HOL zu FOL schützt. Zu den Ergebnissen zählen mehrere neue Theorien begründeter Klassen, eine allgemeine Beschreibung der Begründetheit und neue Arbeiten zur Logik der Begründung (logic of ground). Die Projektarbeit mündete in 20 von Experten begutachteten wissenschaftlichen Zeitschriftenartikeln sowie zehn Sammelbandartikeln. Weitere acht wissenschaftliche Arbeiten werden derzeit geprüft. Die Mitglieder organisierten gleichermaßen 16 Workshops, eine Konferenz mit einer zugehörigen Sommerschule sowie eine Seminarreihe. So führte das PPP-Projekt in beeindruckender Weise vor, dass logische Paradoxien nicht störend sein müssen. Das Team hat alternative Lösungen geschaffen.
Schlüsselbegriffe
Logik, Paradoxa, Paradoxien, Logik höherer Stufe, groundedness, Begründetheit, Logik erster Stufe, Prädikatenlogik erster Stufe, ZFC, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom