Metody probabilistyczne w kombinatoryce
Istotny wpływ na powstanie kombinatoryki probabilistycznej mieli węgierscy matematycy Paul Erdös i Alfred Rényi, a główną motywacją do jej stworzenia stały się problemy z zakresu kombinatoryki zewnętrznej. W tej dziedzinie często konieczne jest prowadzanie obiektów dyskretnych, na przykład grafów o pozornie sprzecznych właściwościach. Nowatorski pomysł, który zapoczątkował kombinatorykę probabilistyczną, dotyczył tego, że czasami może istnieć eksperyment losowy, którego prawdopodobnym wynikiem będzie konkretny obiekt. Ten sposób na uzyskanie obiektów dyskretnych o określonych właściwościach nazywany jest metodą probabilistyczną. Obecnie metoda probabilistyczna jest skutecznym narzędziem stosowanym nie tylko w kombinatoryce zewnętrznej. W ramach projektu PROBCOMB (Sparse discrete structures) matematycy znaleźli zastosowania tej metody w różnych dziedzinach, od teorii grafów ekstremalnych po addytywną i kombinatoryczną teorię liczb. Zespół PROBCOMB badał właściwości struktur kombinatorycznych niezawierających żadnych kopii danej małej struktury. Ta linia badań przyniosła ważne rezultaty, dotyczące między innymi określenia liczby maksymalnych grafów pozbawionych trójkątów na n wierzchołkach. Oprócz tego problemu Erdös zadał również pytanie, ile wynosi maksymalna liczba podzbiorów liczb całkowitych pozbawionych sumy. Zagadnienie to ma długą historię. Analizując wszystkie możliwe podzbiory danego maksymalnego zbioru pozbawionego sumy, uczeni byli w stanie określić nie tylko dolną, ale i górną granicę takich zbiorów. W celu rozwiązania starego problemu kolorowania krawędzi grafów na n wierzchołkach — przedstawionego po raz pierwszy przez Erdösa i Verę T. Sós — matematycy wykorzystali metodę algebr flagowych. Te matematyczne narzędzia mają umożliwić traktowanie wszystkich klas struktur kombinatorycznych w ujednolicony sposób. Algebry flagowe mogą być w szczególności stosowane do struktur posiadających własność dziedziczną, co oznacza, że dowolny podzbiór wierzchołków tych struktur odpowiada innej strukturze tej samej grupy. Zespół PROBCOMB wykazał, że jeżeli n jest potęgą liczby pięć, jednoznaczny graf na n wierzchołkach maksymalizujących liczbę indukowanych cykli pięciokrotnych jest iterowaną eksplozją cyklu pięciokrotnego. W ramach projektu PROBCOMB przeprowadzono kompleksowe badanie kilku zagadnień z zakresu kombinatoryki. W trakcie tych prac napotkano na nowe procesy i wytyczono nowe kierunku przyszłych badań.