Mathematische Klassifizierung algebraischer Strukturen anhand der Random-Walk-Theorie
Das EU-finanzierte Projekt "Random walks on hyperbolic groups" (RWHG) erforschte das Gebiet, auf dem drei verschiedene mathematische Bereiche zusammenlaufen: die Wahrscheinlichkeitstheorie, Algebra und Geometrie. Auch wenn diese Bereiche scheinbar für sich allein stehen, spielt die Random-Walk-Theorie (Random Walk = Zufallsbewegung) dort eine wichtige Rolle, wo diese Bereiche aufeinandertreffen. Sie ist ein Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie, der mathematisch einen Pfad mit einer Abfolge zufälliger Bewegungen darstellt. Im Allgemeinen gibt es zwei Betrachtungsweisen der Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Algebra und Geometrie. Die wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungsweise beschäftigt sich mit Fragen zum Effekt der zugrunde liegenden Struktur auf das Verhalten der entsprechenden Zufallsbewegung. Das Random-Walk-Modell jedoch beschreibt die Dynamik oder das Verhalten der betreffenden Struktur. Insbesondere algebraische und geometrische Eigenschaften können anhand des Verhaltens der entsprechenden Zufallsbewegungen klassifiziert werden. Ein spezifisches Ziel des RWHG-Projekts lautete, eine Klassifizierung der algebraischen Strukturen zu finden, die durch ein Analogon zum Theorem des zentralen Grenzwertsatzes definiert wird. Im Rahmen des Projekts sollte eine vollständige, detaillierte Liste sämtlicher abstrakter Objekte erarbeitet werden, die dieser Definition genügen. Den ersten Schritt zur Erreichung dieses ehrgeizigen Ziels setzte das RWHG-Projekt damit um. Es wurde erfolgreich ein Theorem zum zentralen Grenzwertsatz für ko-kompakte Fuchssche hyperbolische Gruppen bewiesen. Der durch das Projekt erbrachte Beweis könnte auf umfangreiche Klassen mathematischer Objekte oder Gruppen angewendet werden. Leider endete das Projekt vorzeitig, doch es ist zu hoffen, dass die Arbeiten auf diesem sehr komplexen mathematischen Gebiet fortgesetzt werden.
