Projektbeschreibung
Die Konstruktion von Modulräumen der hochdimensionalen algebraischen Varietäten
Stabile Varietäten wurden von Kollár und Shepherd-Barron eingeführt und sind höherdimensionale Verallgemeinerungen stabiler Kurven in der algebraischen Geometrie. Deren vermuteter Modulraum klassifiziert glatte projektive Varietäten bis hin zur birationalen Äquivalenz und stellt gleichzeitig eine projektive Kompaktifizierung bereit. Letztere ist unerlässlich, um algebraische Geometrie im Modulraum selbst anzuwenden. Das EU-finanzierte Projekt MODSTABVAR wird den groben Modulraum der stabilen Oberflächen mit fixem Volumen über den ganzen Zahlen konstruieren. Zu diesem Zweck muss das minimale Modellprogramm für eine dreidimensionale algebraische Varietät als Projektion über einer eindimensionalen Basis gemischter Charakteristik gezeigt werden. Die Ergebnisse des Projekts werden für die Gebiete der algebraischen Geometrie und der Arithmetik höherdimensionaler Varietäten äußerst bedeutsam sein.
Ziel
Stable varieties, originally introduced by Kollár and Shepherd-Barron, are higher dimensional generalizations of the algebro-geometric notion of stable curves from many perspectives. Their partially conjectural moduli space classifies smooth projective varieties of general type up to birational equivalence, and it also provides a projective compactification for this classifying space. The latter is essential for applying algebraic geometry to the moduli space itself. Furthermore, over the complex numbers, stable varieties can be also defined surprisingly as the projective varieties admitting a negative curvature (singular) Kähler-Einstein metric by the work of Berman and Guenancia, or as the canonically polarized K-stable varieties by Odaka.
The fundamental objective of the project is to construct the coarse moduli space of stable surfaces with fixed volume over the integers (possibly excluding finitely many primes, not depending on the volume). In particular this involves showing the Minimal Model Program for 3-folds that are projective over a 1 dimensional mixed characteristic base. The main motivations are applications to the general algebraic geometry and arithmetic of higher dimensional varieties.
The above fundamental goal is also an incarnation of Grothendieck's philosophy that algebraic geometry statements should be proved in a relative setting. This was implemented right at the beginning for stable curves, but it has not been possible to attain for stable varieties of higher dimensions, due to the lack of technology. Hence, the project aims to establish new technology in mixed and positive characteristic geometry based on recent developments, such as modern Minimal Model Program, the vanishings given by balanced big Cohen-Macaulay algebras (the existence of which was shown by André using Scholze's perfectoid theory), trace method for lifting sections, p-torsion cohomology killing via alterations (by Bhatt), torsor method on singular varieties, etc.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht.
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