Projektbeschreibung
Framework für höhere und gekrümmte nichtkommutative algebraische Geometrie
In der nichtkommutativen algebraischen Geometrie werden die geometrischen Eigenschaften formaler dualer Zahlen über nichtkommutativen algebraischen Objekten untersucht. Für das Gebiet gibt es sowohl in der Mathematik als auch in der theoretischen Physik ein breites Anwendungsspektrum. Die algebraische Topologie ist ein weiterer Zweig der Mathematik, in dem Werkzeuge aus der abstrakten Algebra zur Untersuchung topologischer Räume einsetzt werden. Das EU-finanzierte Projekt FHiCuNCAG verfolgt das Ziel, diese Zweige mithilfe der Entwicklung einer höheren linearen Topostheorie miteinander zu verschmelzen. Die Projektforschung wird weitere Einblicke in das seit langem in der algebraischen Deformationstheorie bestehende Krümmungsproblem zulassen. Mit ihr wird ein neues Framework für die nichtkommutative algebraische Geometrie erschaffen, das gekrümmte Objekte beinhaltet. Dabei werden sich die Forschenden vom Reich der höheren Ordnungen inspirieren lassen.
Ziel
With this research programme, inspired by open problems within noncommutative algebraic geometry (NCAG) as well as by actual developments in algebraic topology, it is our aim to lay out new foundations for NCAG. On the one hand, the categorical approach to geometry put forth in NCAG has seen a wide range of applications both in mathematics and in theoretical physics. On the other hand, algebraic topology has received a vast impetus from the development of higher topos theory by Lurie and others. The current project is aimed at cross-fertilisation between the two subjects, in particular through the development of “higher linear topos theory”. We will approach the higher structure on Hochschild type complexes from two angles. Firstly, focusing on intrinsic incarnations of spaces as large categories, we will use the tensor products developed jointly with Ramos González and Shoikhet to obtain a “large version” of the Deligne conjecture. Secondly, focusing on concrete representations, we will develop new operadic techniques in order to endow complexes like the Gerstenhaber-Schack complex for prestacks (due to Dinh Van-Lowen) and the deformation complexes for monoidal categories and pasting diagrams (due to Shrestha and Yetter) with new combinatorial structure. In another direction, we will move from Hochschild cohomology of abelian categories (in the sense of Lowen-Van den Bergh) to Mac Lane cohomology for exact categories (in the sense of Kaledin-Lowen), extending the scope of NCAG to “non-linear deformations”. One of the mysteries in algebraic deformation theory is the curvature problem: in the process of deformation we are brought to the boundaries of NCAG territory through the introduction of a curvature component which disables the standard approaches to cohomology. Eventually, it is our goal to set up a new framework for NCAG which incorporates curved objects, drawing inspiration from the realm of higher categories.
Wissenschaftliches Gebiet
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-COG - Consolidator GrantGastgebende Einrichtung
2000 Antwerpen
Belgien