Opis projektu
Ramy dla wyższej i zakrzywionej algebraicznej geometrii nieprzemiennej
Algebraiczna geometria nieprzemienna zajmuje się badaniem właściwości geometrycznych formalnych par nieprzemiennych obiektów algebraicznych. Dotychczas badania prowadzone w ramach tej dziedziny znalazły szerokie zastosowanie zarówno w matematyce, jak i w fizyce teoretycznej. Topologia algebraiczna to kolejna gałąź matematyki, która wykorzystuje narzędzia dostarczane przez algebrę abstrakcyjną w celu badania przestrzeni topologicznych. Celem finansowanego przez Unię Europejską projektu FHiCuNCAG jest połączenie tych gałęzi poprzez opracowanie wyższej liniowej teorii toposów. Badania naukowe realizowane w ramach projektu pozwolą nam na zgłębienie problemu krzywizny w teorii deformacji algebraicznej, tworząc jednocześnie nowe ramy algebraicznej geometrii nieprzemiennej, obejmujące zakrzywione obiekty, czerpiąc inspirację ze sfery wyższych kategorii.
Cel
With this research programme, inspired by open problems within noncommutative algebraic geometry (NCAG) as well as by actual developments in algebraic topology, it is our aim to lay out new foundations for NCAG. On the one hand, the categorical approach to geometry put forth in NCAG has seen a wide range of applications both in mathematics and in theoretical physics. On the other hand, algebraic topology has received a vast impetus from the development of higher topos theory by Lurie and others. The current project is aimed at cross-fertilisation between the two subjects, in particular through the development of “higher linear topos theory”. We will approach the higher structure on Hochschild type complexes from two angles. Firstly, focusing on intrinsic incarnations of spaces as large categories, we will use the tensor products developed jointly with Ramos González and Shoikhet to obtain a “large version” of the Deligne conjecture. Secondly, focusing on concrete representations, we will develop new operadic techniques in order to endow complexes like the Gerstenhaber-Schack complex for prestacks (due to Dinh Van-Lowen) and the deformation complexes for monoidal categories and pasting diagrams (due to Shrestha and Yetter) with new combinatorial structure. In another direction, we will move from Hochschild cohomology of abelian categories (in the sense of Lowen-Van den Bergh) to Mac Lane cohomology for exact categories (in the sense of Kaledin-Lowen), extending the scope of NCAG to “non-linear deformations”. One of the mysteries in algebraic deformation theory is the curvature problem: in the process of deformation we are brought to the boundaries of NCAG territory through the introduction of a curvature component which disables the standard approaches to cohomology. Eventually, it is our goal to set up a new framework for NCAG which incorporates curved objects, drawing inspiration from the realm of higher categories.
Dziedzina nauki
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-COG - Consolidator GrantInstytucja przyjmująca
2000 Antwerpen
Belgia