Description du projet
Un principe variationnel concernant la régularité des problèmes à frontière libre
Les problèmes à frontière libre, qui font intervenir une équation différentielle partielle sur un domaine dont la frontière est libre, se posent naturellement dans un grand nombre de modèles différents en physique, en ingénierie et en économie. Le projet VAREG, financé par l’UE, prévoit d’étudier les problèmes à frontière libre d’un point de vue purement théorique. L’accent sera mis sur la régularité des frontières libres apparaissant dans le contexte des problèmes de minimisation variationnelle tels que les problèmes à une phase, à deux phases et les problèmes vectoriels de Bernoulli, ainsi ceux relatifs aux obstacles et aux obstacles minces. Le projet développera de nouvelles techniques pour analyser la structure fine des frontières libres, en particulier autour des singularités. De nombreux outils et méthodes développés pourront trouver une application dans d’autres problèmes et domaines, notamment les minimisations de surface, les cartes harmoniques, les problèmes de discontinuité libre et les problèmes de frontières libres paraboliques et non locales.
Objectif
The focus of this project is the regularity theory of free boundary problems. This is a fascinating topic, which combines methods from Analysis and Geometry, and has numerous applications to a large variety of problems in Physics, Engineering and Economy, which involve partial differential equations on domains whose boundary is free, that is, it is not a priori known. Typical examples are the Stefan problem, describing the evolution of a block of melting ice, and the American stock options. Since the shape of the boundary is free, it is a deep and usually extremely difficult question to study its fine structure. The regularity theory is precisely the art of deducing the local structure of the free boundary just by looking at a global energy-minimization property of the state function. In this project I aim to develop new techniques to study the regularity of the free boundaries and to give a precise description of the structure of the free boundaries around singular points. I will introduce a new variational method for the analysis of the free boundaries, aiming to solve several major open questions related to the classical one-phase, two-phase and the vectorial Bernoulli problems, the obstacle and thin-obstacle problems, which are the most important models both from a theoretical and applicative point of view. The techniques that I will develop in this project will have an impact on several domains, including the minimal surfaces, harmonic maps, free discontinuity problems, parabolic and non-local free boundary problems.
Champ scientifique
Mots‑clés
Programme(s)
Thème(s)
Régime de financement
ERC-STG - Starting GrantInstitution d’accueil
56126 Pisa
Italie