Projektbeschreibung
Ein variationelles Prinzip zu der Regularität freier Randwertprobleme
Freie Randwertprobleme, bei denen es um eine partielle Differentialgleichung über ein Gebiet mit freiem Rand geht, kommen häufig auf natürliche Weise in vielen verschiedenen Modellen der Physik, des Ingenieurwesens und der Wirtschaft vor. Das EU-finanzierte Projekt VAREG plant, freie Randwertprobleme aus rein theoretischer Sicht zu betrachten. Der Schwerpunkt soll dabei auf der Regularität der freien Ränder liegen, die im Kontext variationeller Minimierungsprobleme wie dem Einphasen-, Zweiphasen- und vektoriellen Bernoulliproblem sowie dem Hindernisproblem und dem Hindernisproblem mit dünnem Hindernis auftreten. Das Projekt wird neue Verfahren zur Analyse der Feinstruktur der freien Ränder entwickeln, insbesondere rund um Singularitäten. Viele der entwickelten Instrumente und Methoden können auch bei anderen Problemen und Gebieten angewandt werden, darunter bei der Minimierung von Oberflächen, bei harmonischen Karten, Problemen mit freien Unstetigkeiten sowie parabolischen und nicht lokalen freien Randwertproblemen.
Ziel
The focus of this project is the regularity theory of free boundary problems. This is a fascinating topic, which combines methods from Analysis and Geometry, and has numerous applications to a large variety of problems in Physics, Engineering and Economy, which involve partial differential equations on domains whose boundary is free, that is, it is not a priori known. Typical examples are the Stefan problem, describing the evolution of a block of melting ice, and the American stock options. Since the shape of the boundary is free, it is a deep and usually extremely difficult question to study its fine structure. The regularity theory is precisely the art of deducing the local structure of the free boundary just by looking at a global energy-minimization property of the state function. In this project I aim to develop new techniques to study the regularity of the free boundaries and to give a precise description of the structure of the free boundaries around singular points. I will introduce a new variational method for the analysis of the free boundaries, aiming to solve several major open questions related to the classical one-phase, two-phase and the vectorial Bernoulli problems, the obstacle and thin-obstacle problems, which are the most important models both from a theoretical and applicative point of view. The techniques that I will develop in this project will have an impact on several domains, including the minimal surfaces, harmonic maps, free discontinuity problems, parabolic and non-local free boundary problems.
Wissenschaftliches Gebiet
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-STG - Starting GrantGastgebende Einrichtung
56126 Pisa
Italien