Opis projektu
Zasada wariacyjna określająca regularność problemów wolnego brzegu
Problemy wolnego brzegu, które obejmują równanie różniczkowe cząstkowe w dziedzinie, której brzeg jest wolny, pojawiają się naturalnie w wielu różnych modelach w fizyce, inżynierii i ekonomii. W ramach finansowanego ze środków UE projektu VAREG planuje się zbadanie takich problemów z czysto teoretycznego punktu widzenia. Skupi się on na regularności wolnych brzegów powstających w kontekście problemów związanych z minimalizacją wariancji, takich jak problemy jednofazowe, dwufazowe i wektorowe problemy Bernoulliego, a także problemy związane z przeszkodami i cienkimi przeszkodami. W ramach projektu opracowane zostaną nowe techniki analizy precyzyjnej struktury wolnych brzegów, zwłaszcza wokół punktów osobliwych. Wiele opracowanych narzędzi i metod może znaleźć zastosowanie w przypadku innych problemów i dziedzin, w tym w zakresie powierzchni minimalizujących obszar, map harmonicznych, problemów swobodnej nieciągłości oraz problemów parabolicznych i nielokalnych wolnych brzegów.
Cel
The focus of this project is the regularity theory of free boundary problems. This is a fascinating topic, which combines methods from Analysis and Geometry, and has numerous applications to a large variety of problems in Physics, Engineering and Economy, which involve partial differential equations on domains whose boundary is free, that is, it is not a priori known. Typical examples are the Stefan problem, describing the evolution of a block of melting ice, and the American stock options. Since the shape of the boundary is free, it is a deep and usually extremely difficult question to study its fine structure. The regularity theory is precisely the art of deducing the local structure of the free boundary just by looking at a global energy-minimization property of the state function. In this project I aim to develop new techniques to study the regularity of the free boundaries and to give a precise description of the structure of the free boundaries around singular points. I will introduce a new variational method for the analysis of the free boundaries, aiming to solve several major open questions related to the classical one-phase, two-phase and the vectorial Bernoulli problems, the obstacle and thin-obstacle problems, which are the most important models both from a theoretical and applicative point of view. The techniques that I will develop in this project will have an impact on several domains, including the minimal surfaces, harmonic maps, free discontinuity problems, parabolic and non-local free boundary problems.
Dziedzina nauki
Słowa kluczowe
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-STG - Starting GrantInstytucja przyjmująca
56126 Pisa
Włochy