Descrizione del progetto
Un principio variazionale alla regolarità dei problemi di frontiera libera
I problemi di frontiera libera, che comportano un’equazione differenziale parziale su un dominio la cui frontiera è libera, sorgono naturalmente in molti modelli diversi in fisica, ingegneria ed economia. Il progetto VAREG, finanziato dall’UE, prevede di studiare i problemi di frontiera libera da un punto di vista puramente teorico. L’attenzione si concentrerà sulla regolarità delle frontiere libere che emergono nel contesto di problemi di minimizzazione variazionale, quali i problemi a una fase, a due fasi e vettoriali di Bernoulli, nonché i problemi di ostacolo e problemi di ostacolo sottile. Il progetto svilupperà nuove tecniche per analizzare la struttura fine delle frontiere libere, principalmente attorno alle singolarità. Molti strumenti e metodi sviluppati possono trovare applicazione in altri problemi e domini, tra cui superfici che riducono al minimo l’aria, mappe armoniche, problemi di discontinuità libera e problemi di frontiera libera per equazioni paraboliche e non locali.
Obiettivo
The focus of this project is the regularity theory of free boundary problems. This is a fascinating topic, which combines methods from Analysis and Geometry, and has numerous applications to a large variety of problems in Physics, Engineering and Economy, which involve partial differential equations on domains whose boundary is free, that is, it is not a priori known. Typical examples are the Stefan problem, describing the evolution of a block of melting ice, and the American stock options. Since the shape of the boundary is free, it is a deep and usually extremely difficult question to study its fine structure. The regularity theory is precisely the art of deducing the local structure of the free boundary just by looking at a global energy-minimization property of the state function. In this project I aim to develop new techniques to study the regularity of the free boundaries and to give a precise description of the structure of the free boundaries around singular points. I will introduce a new variational method for the analysis of the free boundaries, aiming to solve several major open questions related to the classical one-phase, two-phase and the vectorial Bernoulli problems, the obstacle and thin-obstacle problems, which are the most important models both from a theoretical and applicative point of view. The techniques that I will develop in this project will have an impact on several domains, including the minimal surfaces, harmonic maps, free discontinuity problems, parabolic and non-local free boundary problems.
Campo scientifico
Parole chiave
Programma(i)
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
ERC-STG - Starting GrantIstituzione ospitante
56126 Pisa
Italia