Opis projektu
Nowe narzędzia matematyczne, które pozwolą odkryć złożoną dynamikę układów wielu ciał
Równania różniczkowe cząstkowe są podstawowym językiem fizyki i inżynierii, w którym można zapisać większość ich praw, i jednym z najważniejszych matematycznych narzędzi modelowania w naukach społecznych. Finansowany przez UE projekt Nonlocal-CPD, poza licznymi obszarami zastosowań modelowania kinetycznego w biologii matematycznej, skupi się na użyciu równań różniczkowych cząstkowych do zbadania układów zawierających dużą liczbę „jednostek”, które wykazują „zachowanie zbiorowe”, i spróbuje uzyskać na tej podstawie informacje „uśrednione”. Badania poruszą również kwestie długotrwałej asymptotyki, właściwości jakościowych i modeli numerycznych dyfuzji nieliniowej, a także równań hydrodynamicznych i kinetycznych w modelowaniu zbiorowego zachowania układów wielu ciał.
Cel
"This proposal focuses on the development of new mathematical tools to analyse theoretical, numerical and
modelling aspects of novel applications of nonlinear nonlocal aggregation-diffusion equations in Mathematical Biology and in classical problems of kinetic theory. Among the numerous areas of applications of kinetic modelling in Mathematical Biology, we will concentrate on phenomena identified, at the modelling stage, as systems involving a large number of ""individuals"" showing ""collective behaviour"" and how to obtain ""averaged"" information from them. Individuals behavior can be modelled via stochastic/deterministic ODEs from which one obtains mesoscopic/macroscopic descriptions based on mean-field PDEs leading to continuum mechanics, hydrodynamic and/or kinetic systems. Understanding the interplay between the interaction behaviour (nonlocal, nonlinear), the diffusion (nonlinear), the transport phenomena, and the synchronization is my main mathematical goal.
The proposed research is centred on developing tools underpinning the analysis of long time asymptotics, phase transitions, stability of patterns, consensus and clustering, and qualitative properties of these models. On the other hand, designing numerical schemes to accurately solve these models is key not only to understand theoretical issues but also crucial in applications. We will focus on the important case of the Landau equation with applications in weakly nonlinear plasmas by means of the gradient flow techniques. On the other hand, we showcase our tools in patterns and consensus by focusing on zebra fish patterning formation, as example of spontaneous self-organisation processes in developmental biology, and grid cells for navigation in mammals, as prototype for the synchronization of neural networks. This project connects with other areas of current interest in science and technology such as agent-based models in engineering: global optimization, clustering, and social sciences."
Dziedzina nauki
- natural sciencesbiological sciencesdevelopmental biology
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesbiological scienceszoologymammalogy
- natural sciencescomputer and information sciencesartificial intelligencecomputational intelligence
Słowa kluczowe
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-ADG - Advanced GrantInstytucja przyjmująca
OX1 2JD Oxford
Zjednoczone Królestwo