Elliptic Integrable Systems: solutions, deformations and integrability

Projektbeschreibung

Erweiterung des Reichs spezieller Funktionen mit Schwerpunkt auf elliptische Integrale

Die Mathematik stellt die Sprache dafür bereit, die Beziehungen zu beschreiben, die den Interaktionen in der Welt um uns herum zugrunde liegen. Systeme partieller Differentialgleichungen sind für diese Beschreibungen unerlässlich. Im letzten Jahrzehnt ist es zu einem explosionsartigen Anstieg der Forschung über Calogero-Moser-Sutherland-Modelle (CMS-Modelle) gekommen, die zur exakten Lösung wichtiger eindimensionaler quantenmechanischer Mehrteilchenprobleme und ihrer klassischen Gegenstücke von Bedeutung sind. Diese Modelle sind für zahlreiche Forschungsbereiche, auch abseits der reinen Mathematik, von fundamentaler Bedeutung, zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie und der Physik der kondensierten Materie. Das EU-finanzierte Projekt ELLIS-SDI wird diese Modelle mit einem Schwerpunkt auf elliptische Funktionen und Integrale sowie die Entsprechungen zwischen CMS-Modellen und Painlevé-Hierarchien, einer weiteren wichtigen Klasse von Differentialgleichungen, erweitern.

Ziel

The proposal studies relativistic generalizations of quantum integrable models of Calogero-Moser-Sutherland (CMS) type and their deformations, and the correspondence between the CMS models and the Painlevé hierarchies. It is divided into several parts. The first part investigates the van Diejen model (which is the most complicated model in the CMS family) and its sophisticated limiting case proposed by Takemura. The aim is to construct exact eigenfunctions of these two models using the kernel function methods. These eigenfunctions belong to an emerging new class in the theory of special functions. The second part is devoted to the study of integrable deformations of the relativistic CMS model (Ruijsenaars model), going back to the works of Chalykh, Feigin, Veselov and Sergeev. In the trigonometric case, the deformed models are known to be integrable and the eigenfunctions of the principal Hamiltonian are given in terms of super-Macdonald polynomials. Using the kernel function identities, I will prove that all higher Hamiltonians of this model are diagonalized by the super-Macdonald polynomials. This will be used to establish orthogonality of the super-Macdonald polynomials. Extending this, I plan to establish integrability of the elliptic case. Furthermore, by using algebraic tools such as Cherednik operators and double affine Hecke algebras, and building upon a recent work of Chalykh, I will construct quantum Lax matrices for the deformed models in all cases. Lastly, we aim to find a conceptual link between elliptic Cherednik algebras and higher Painlevé systems. Namely, first we will obtain the classical Inozemtsev system from Cherednik algebra by a Hamiltonian reduction. By relating this to the recent results of Bertolo, Cafasso, and Rubtsov, we will then find an alternative and more natural interpretation of the higher Painlevé equations as isomonodromic deformations.