Skip to main content

Low-dimensional and Non-autonomous Dynamics

Article Category

Article available in the folowing languages:

Nowe podejście do nieautonomicznych układów dynamicznych

Złożone układy dynamiczne – od zmian klimatu po rynki finansowe – mogą posiadać „punkty zwrotne” nazywane katastroficznymi bifurkacjami, w których nagła zmiana własności może skutkować utratą równowagi takiego układu. Szczegółowe badania dotyczące punktów bliskich bifurkacji mogą umożliwić bardziej precyzyjną kontrolę własności bifurkacyjnych i pod pewnym względem pomóc osiągnąć pożądaną dynamikę układu.

Badania podstawowe

Modelując niezwykle szeroki zakres zachowań, takich jak ruch planet w Układzie Słonecznym lub rozprzestrzenianie się chorób w obrębie populacji, układy dynamiczne są powszechnie stosowane do celów analiz systemowych w bogatym wachlarzu dziedzin naukowych. Jak dotąd kilka bifurkacji lokalnych (włączając w to bifurkację siodło-węzeł, transkrytyczną, widelcową, podwojenia okresu i Hopfa) było przedmiotem badań w dziedzinie fizyki, biologii, inżynierii, ekologii i ekonomii. Jednak pomimo poczynionych postępów nie udało się dotychczas osiągnąć pełnego zrozumienia bifurkacji w nieautonomicznych układach dynamicznych. Celem finansowanego z funduszy unijnych projektu LDNAD (Low-dimensional and non-autonomous dynamics) było pogłębienie naszej wiedzy i dostarczenie nowych narzędzi wspierających badania nad teorią bifurkacji w układach nieautonomicznych, a w szczególności nad nieautonomicznymi odpowiednikami klasycznych form bifurkacji w układach dynamicznych. Badania nad bifurkacjami Hopfa w układach nieautonomicznych skupiły się na istniejącym od dawna problemie dotyczącym zastąpienia klasycznej formy bifurkacji Hopfa dwuetapowym scenariuszem tejże bifurkacji w układach nieautonomicznych zaproponowanym przez Ludwiga Arnolda. Uczeni opisali ten scenariusz za pomocą wymuszonych modeli deterministycznych, które można postrzegać jako układy ciągłe produktów skośnych w zwartej przestrzeni produktowej, bądź za pomocą układów wymuszonych w sposób losowy, które prowadzą do produktów skośnych w drodze podstawowego przekształcenia zachowującego miarę. W tym scenariuszu, zewnętrzne wymuszenie może doprowadzić do odłączenia się wartości własnych sprzężenia zespolonego, co skutkuje powstaniem dwuetapowego scenariusza bifurkacji, w którym „torus” niezmienniczy rozdziela wcześniej stabilną rozmaitość centralną. Badacze dowiedli, że wspomniany torus składa się z okręgu topologicznego w każdym włóknie. Zespół projektowy dokonał również znacznych postępów związanych z teorią ergodyczną. Biorąc pod uwagę fakt, że porządek leksykograficzny wprowadza do zbioru swoich niezmienniczych miar probabilistycznych częściowy porządek – znany pod nazwą dominacji stochastycznej pierwszego rzędu – uczeni przyjrzeli się delikatnej strukturze porządku tej dominacji i udowodnili, że niezmiennicze miary Sturma są uporządkowane liniowo według tego porządku. Działania podjęte w ramach inicjatywy LDNAD pomogły zgłębić naszą wiedzę o bifurkacjach w nieautonomicznych układach dynamicznych, a konkretnie o skutkach zmian struktury systemów dynamicznych zachodzących w obliczu zmiany parametrów.

Słowa kluczowe

Układy dynamiczne, dynamika układów nieautonomicznych, LDNAD, teoria bifurkacji, teoria ergodyczna

Znajdź inne artykuły w tej samej dziedzinie zastosowania