Skip to main content

"Dynamics, Spectral Theory, and Arithmetic in Quantum Chaos"

Article Category

Article available in the folowing languages:

Nowe badania nad ergodycznością kwantowo jednoznaczną

Finansowani z funduszy UE uczeni zbadali związek między widmem a funkcjami własnymi laplasjanu na powierzchniach hiperbolicznych, jak również geometrię i dynamikę krzywych geodezyjnych na powierzchni w kontekście ergodyczności kwantowo jednoznacznej (QUE, Quantum Unique Ergodicity).

Badania podstawowe

Pojęcie ergodyczności kwantowo jednoznacznej wywodzi się z dziedziny fizyki nazywanej „chaosem kwantowym”, dążącej do dokładnego poznania zależności pomiędzy fizyką klasyczną a kwantową. Zgodnie z teorią ergodyczności kwantowej, w granicy wysokich energii rozkłady prawdopodobieństwa powiązane z energią stanów własnych kwantowanego hamiltonianu ergodycznego dążą do rozkładu jednorodnego w klasycznej przestrzeni fazowej. Uczestnikom projektu DSTAQC udało się osiągnąć znaczące postępy w zakresie związków między niezaistnieniem QUE z degeneracją widma. W ostatnio opublikowanym artykule zespół udowodnił, że quasimody mogą koncentrować dodatnią masę na dowolnej zamkniętej krzywej geodezyjnej, aż do przypuszczalnej wartości granicznej QUE. Twierdzenie to jest niezwykle istotne, ponieważ wykazuje, że w przypadku wystarczająco słabych quasimodów ergodyczność kwantowo jednoznaczna nie tylko może nie zaistnieć, ale, co więcej, przynieść rezultat w postaci miary długości na zamkniętej krzywej geodezyjnej. Następnie zespół uściślił związek między degeneracjami a QUE, pokazując zależności między ergodycznością kwantowo jednoznaczną a propagacją czasową w długiej skali logarytmicznej, która dokładnie odpowiada skali czasowej, w jakiej pojawia się przypuszczalna wartość graniczna QUE. Zespół dowiódł, że w przypadku quasimodów Eisensteina elementy analogiczne do QUE zachowują przypuszczalne logarytmiczne wartości graniczne – przynajmniej do pierwszego stopnia – co jest spowodowane kwestiami arytmetycznymi nieodkrytymi w poprzednim wspólnym badaniu nad połączonymi quasimodami operatorów Laplace'a i Heckego. Wykazano również, że aproksymacje drugiego stopnia zawierają rozszerzenia na wierzchołkach krzywych geodezyjnych analogiczne do niezaistnienia QUE dla quasimodów w skali logarytmicznej. Uczestnicy projektu DSTAQC zbadali również wzajemne zależności między QUE na powierzchni kulistej a dynamiką symetrii, w tym odpowiedniość Heckego. Badacze udowodnili, że w każdej przestrzeni harmonik sferycznych dużych wartości własnych warunki ergodyczności kwantowej są spełniane przez funkcje własne operatorów uśredniających nad skończonym zbiorem rotacji. Te operatory uśredniające, choć niekoniecznie arytmetyczne, odzwierciedlają wpływ wymuszenia dodatkowych symetrii w bazie funkcji własnych. Dalsze prace skupią się na normach funkcji własnych na grafach w przestrzeni L^p. Zespołowi DSTAQC udało się nie tylko wyjaśnić zależności między degeneracją widma a QUE, ale również dokładnie poznać rozszerzenia i ograniczenia przy innych warunkach. Uzyskane wyniki zostały wykorzystane w wielu pracach naukowych, dla których projekt DSTAQC stał się inspiracją.

Słowa kluczowe

Ergodyczność kwantowo jednoznaczna, powierzchnie hiperboliczne, chaos kwantowy, DSTAQC, quasimody

Znajdź inne artykuły w tej samej dziedzinie zastosowania