Una teoria delle stringhe matematicamente rigorosa
Oltre a essere il candidato principale per l’applicazione teorica nella gravità quantistica, la teoria delle stringhe ha dato vita a nuovi ed eccitanti concetti matematici. Senza tutti gli sviluppi concorrenti in matematica, la teoria delle stringhe non avrebbe avuto così tanto successo. L’obiettivo principale del progetto VIRTBIR (Virtual birationality) finanziato dall’UE era quello di fornire una solida base teorica ai risultati ispirati alla fisica nei problemi enumerativi e, in particolare, agli invarianti di conteggio delle curve. Nella geometria enumerativa, gli invarianti sono usati per contare le curve che hanno proprietà specifiche in una varietà proiettiva complessa. Le condizioni sono tali che il numero atteso di curve per soddisfarle è né nullo né infinito. In altre parole, essi portano informazioni importanti sulla geometria della varietà proposta. Il progetto VIRTBIR si concentrava sugli invarianti di Gromov-Witten. Per una varietà proiettiva liscia, tali invarianti contano le curve in un modo piuttosto raffinato. È importante sottolineare che si ottiene lo stesso numero di curve che ci si attenderebbe ingenuamente dalla geometria algebrica. Gli invarianti sono inoltre costanti a prescindere dalle deformazioni della varietà. Gli scienziati hanno proposto una serie di nuovi algoritmi per il calcolo degli invarianti di Gromov-Witten. Si è cominciato con lo sviluppo di nuovi metodi per mettere in relazione le classi virtuali fondamentali degli spazi dei moduli. Tuttavia, l’approccio adottato può essere applicato ad altre teorie per il conteggio delle curve. Gli invarianti di Gromov-Witten si sono evoluti insieme alla teoria di gauge, la teoria quantistica dei campi, la geometria simplettica e la geometria algebrica. Il problema di definirli matematicamente è stato risolto intorno al 1995, ma il loro calcolo è stato difficile e tutt’altro che risolto. Il progetto VIRTBIR ha abbozzato una strategia efficace non solo per calcolare gli invarianti di Gromov-Witten, ma anche per confrontare diversi tipi di invarianti a conteggio enumerativo. In sostanza, i risultati confermano una congettura nella teoria degli invarianti di conteggio motivata dalla fisica: che essi siano strettamente correlati.
Parole chiave
Teoria delle stringhe, geometria enumerativa, VIRTBIR, invarianti di Gromov-Witten, geometria algebrica, algoritmi
