Uporządkowana matematycznie teoria strun
Teoria strun jest nie tylko najpoważniejszym kandydatem do teoretycznego zastosowania grawitacji kwantowej, ale także źródłem nowych, ekscytujących koncepcji z dziedziny matematyki. Bez równocześnie powstających koncepcji matematycznych teoria strun nie odniosłaby takiego sukcesu. Głównym celem projektu VIRTBIR (Virtual birationality), finansowanego ze środków UE, było stworzenie solidnych podstaw teoretycznych dla inspirowanych fizyką metod rozwiązywania problemów geometrii enumeratywnej, a w szczególności niezmienników zliczających krzywe. W geometrii enumeratywnej niezmienniki służą do zliczania krzywych o określonych właściwościach w zespolonej rozmaitości rzutowej. Obowiązują takie warunki, że przewidywana liczba spełniających je krzywych nie jest ani zerowa, ani nieskończona. Inaczej mówiąc, zawierają one ważne informacje na temat geometrii danej rozmaitości. Prace prowadzone w projekcie VIRTBIR koncentrowały się wokół niezmienników Gromova-Wittena. W przypadku gładkiej rozmaitości rzutowej niezmienniki te zliczają krzywe w sposób dość wyrafinowany. Co ważne, otrzymuje się tę samą liczbę krzywych co w przypadku geometrii algebraicznej. Pozostają one także niezmienne podczas deformacji rozmaitości. Naukowcy zaproponowali szereg nowych algorytmów do obliczania niezmienników Gromova-Wittena. Prace rozpoczęto od przygotowania nowych metod umożliwiających kojarzenie wirtualnych klas podstawowych przestrzeni modułów. Nowe podejście można jednak zastosować także do innych teorii zliczania krzywych. Niezmienniki Gromova-Wittena ewoluują wraz z teorią cechowania, kwantową teorią pola, geometrią symplektyczną i geometrią algebraiczną. Problem związany z ich definiowaniem w sposób matematyczny został rozwiązany około roku 1995, jednak ich obliczanie pozostawało trudne. Uczestnicy projektu VIRTBIR opracowali skuteczną strategię umożliwiającą obliczanie niezmienników Gromova-Wittena, a także porównywanie różnych rodzajów niezmienników enumeratywnych. Co istotne, wyniki omawianych badań potwierdzają przypuszczenie z zakresu motywowanej fizyką teorii zliczania krzywych, dotyczące tego, że są one ze sobą blisko spokrewnione.
Słowa kluczowe
Teoria strun, geometria enumeratywna, VIRTBIR, niezmienniki Gromova-Wittena, geometria algebraiczna, algorytmy
