Algebry poszerzają nasz skończenie wymiarowy wszechświat
Algebry Kaca-Moody'ego, wprowadzone niezależnie przez Victora Kaca i Roberta Moody'ego w latach 60. XX wieku, stanowią uogólnienie skończenie wymiarowych algebr Liego. W ostatnich latach teoria ta została tak bardzo rozwinięta w różnych kierunkach, że stała się standardowym narzędziem używanym w matematyce. Badania prowadzone w ramach finansowanego ze środków UE projektu KMLIEGROUPS (Infinite-dimensional Lie theory and Kac-Moody groups) skupiły się na grupach Kaca-Moody'ego. Ponieważ teoria struktury algebr Kaca-Moody'ego została opracowana jako kompletna analogia teorii klasycznej, grupy te uważa się za nieskończenie wymiarowe analogi grup Liego. Zespół KMLIEGROUPS przyjrzał się grupom Kaca-Moody'ego z perspektywy analitycznej. Przeprowadził również szczegółową analizę dodatnich reprezentacji algebr i grup Liego uogólniających algebry i grupy Kaca-Moody'ego do nieskończonej rangi. Matematycy wyodrębnili nierozkładalne dodatnie reprezentacje produktu półprostego ciągłych działań addytywnych grup liczb rzeczywistych na grupach Liego. Były rozważane jako podzbiór klas równoważności nierozkładalnych reprezentacji unitarnych dowolnej grupy Liego. Zespół przeanalizował również reprezentacje grup Hilberta-Liego o największej wadze oraz afinizacje takich grup. Takie algebry Liego są naturalnym uogólnieniem afinicznych grup Kaca-Moody'ego do nieskończonej rangi. Następnie uczestnicy projektu KMLIEGROUPS skupili się na maksymalnych grupach Kaca-Moody'ego nad ciałami skończonymi. W tym celu zbadali działanie maksymalnej grupy Kaca-Moody'ego rangi 2 na brzegu konstrukcji typu „building”. Matematycy udowodnili, że działa ona na brzegu zawsze przechodnio, podczas gdy jej podgrupy działają prymitywnie. Pozwoliło to lepiej zrozumieć podgrupy lokalnie normalne. Wyniki projektu KMLIEGROUPS rzuciły nowe światło na związek grupy i algebry Kaca-Moody'ego z twierdzeniami o morfizmie algebr, które to twierdzenia można przenieść na odpowiednie grupy. Wcześniej, w przeciwieństwie do zależności między grupami i algebrami Liego, teoria nieskończenie wymiarowa była bardzo słabo poznana.
