Projektbeschreibung
Ein Lagrange-Darstellungsansatz zur Untersuchung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle und kommen in verschiedenen physikalischen und technischen Modellen vor. Viele dieser Modelle weisen einen Mangel an Regelmäßigkeit auf. Der Umgang mit unregelmäßigen Lösungen, welche die besondere Dynamik physikalischer Prozesse erfassen können, stellt eine große mathematische Herausforderung dar: Die meisten der für glatte Verhältnisse entwickelten Werkzeuge sind unwirksam. Das über die Marie-Skłodowska-Curie-Maßnahmen finanzierte Projekt Lagrangian zielt darauf ab, den kürzlich eingeführten Lagrange-Darstellungsansatz für nichtlineare Erhaltungssätze auf die Untersuchung mehrdimensionaler und nichtentropischer schwacher Lösungen auszuweiten. Das Projekt wird zudem Lagrange-Darstellungstechniken nutzen, um schwierige Fragen bei der Analyse von Erhaltungsgesetzen in der Kontrolltheorie anzugehen, die auch bei gemischten Modellen des Verkehrsflusses Anwendung finden.
Ziel
The core of this project is the Lagrangian Representation (LR) and the interplay of this novel Geometric Measure Theory (GMT) tool with the study of 1st-order, nonlinear Partial Differential Equations (PDEs). Several nonlinear PDEs arise in important models from physics, engineering, biology and chemistry. The lack of regularity is an intrinsic feature of these models and reflects actual properties of the underlying real-world systems, as for example shock waves in fluid dynamics or traffic flow. Handling irregular solutions capable to capture the peculiar features of these systems poses great mathematical challenges since most of the tools developed in the smooth setting (specifically the method of characteristics) cannot be employed in this context. In the first line of research of the project I propose a new and innovative extension and exploitation, for the multidimensional case and for non entropic weak solutions, of the recently introduced LR for nonlinear conservation laws. Such a (characteristic-like) representation has proved to be a powerful technique to analyze the geometric structure and the regularity of solutions to nonlinear PDEs. In the second line of research, I will employ the LR to investigate fine properties of the 2d eikonal equation in the context of a surprisingly related celebrated conjecture in the calculus of variations by Aviles-Giga. In the last line of research, I will exploit the LR techniques to address challenging questions in the analysis of nonlinear conservation laws from the point of view of control theory, concerning controllability issues and necessary conditions for optimality, which have also application in recent mixed models of traffic flow (involving for example E-scooters in addition to cars). The Marie Skłodowska-Curie fellowship and the consequent close collaboration with Prof. Ancona and the top research group in PDEs and GMT of University of Padova are a great and unique opportunity of fulfillment of this project.
Wissenschaftliches Gebiet
Programm/Programme
Thema/Themen
Aufforderung zur Vorschlagseinreichung
Andere Projekte für diesen Aufruf anzeigenFinanzierungsplan
MSCA-IF - Marie Skłodowska-Curie Individual Fellowships (IF)Koordinator
35122 Padova
Italien