Opis projektu
Podejście oparte na reprezentacji Lagrange’a do badania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych
Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe odgrywają ważną rolę w matematyce i występują w wielu modelach fizycznych i inżynieryjnych, z których wiele wykazuje brak regularności. Zajmowanie się rozwiązaniami nieregularnymi, które potrafią uchwycić osobliwą dynamikę procesów fizycznych, stanowi duże matematyczne wyzwanie, gdyż większość narzędzi opracowanych dla konfiguracji gładkich jest nieefektywna. Celem finansowanego w ramach działań „Maria Skłodowska-Curie” projektu Lagrangian jest rozszerzenie przedstawionego niedawno podejścia opartego na reprezentacji Lagrange’a do nieliniowych zasad zachowania, tak aby objąć nim również badanie wielowymiarowych i nieentropicznych rozwiązań słabych. Badacze wykorzystają również techniki z zakresu reprezentacji Lagrange’a, aby z ich pomocą poszukiwać odpowiedzi na trudne pytania dotyczące analizy zasad zachowania w teorii kontroli, które mają również zastosowanie w mieszanych modelach przepływu ruchu ulicznego.
Cel
The core of this project is the Lagrangian Representation (LR) and the interplay of this novel Geometric Measure Theory (GMT) tool with the study of 1st-order, nonlinear Partial Differential Equations (PDEs). Several nonlinear PDEs arise in important models from physics, engineering, biology and chemistry. The lack of regularity is an intrinsic feature of these models and reflects actual properties of the underlying real-world systems, as for example shock waves in fluid dynamics or traffic flow. Handling irregular solutions capable to capture the peculiar features of these systems poses great mathematical challenges since most of the tools developed in the smooth setting (specifically the method of characteristics) cannot be employed in this context. In the first line of research of the project I propose a new and innovative extension and exploitation, for the multidimensional case and for non entropic weak solutions, of the recently introduced LR for nonlinear conservation laws. Such a (characteristic-like) representation has proved to be a powerful technique to analyze the geometric structure and the regularity of solutions to nonlinear PDEs. In the second line of research, I will employ the LR to investigate fine properties of the 2d eikonal equation in the context of a surprisingly related celebrated conjecture in the calculus of variations by Aviles-Giga. In the last line of research, I will exploit the LR techniques to address challenging questions in the analysis of nonlinear conservation laws from the point of view of control theory, concerning controllability issues and necessary conditions for optimality, which have also application in recent mixed models of traffic flow (involving for example E-scooters in addition to cars). The Marie Skłodowska-Curie fellowship and the consequent close collaboration with Prof. Ancona and the top research group in PDEs and GMT of University of Padova are a great and unique opportunity of fulfillment of this project.
Dziedzina nauki
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
MSCA-IF - Marie Skłodowska-Curie Individual Fellowships (IF)Koordynator
35122 Padova
Włochy