Projektbeschreibung
Verborgenen Strukturen mit fortgeschrittener Mathematik auf der Spur
Medizinische und seismische Bildgebung stützen sich auf externe Messungen, um verborgene Strukturen, wie das Innere des menschlichen Körpers oder den Untergrund der Erde, zum Vorschein zu bringen. Diese Messungen sind jedoch oft unvollständig oder durch Rauschen verzerrt. Zur Lösung derartiger Probleme sind mathematische Verfahren erforderlich, mit denen fehlende Details rekonstruierbar sind. Jüngste Fortschritte in den Bereichen Geometrie, Berechnungsverfahren und Wellenanalyse eröffnen nun neue Möglichkeiten. In diesem Zusammenhang befasst sich die Arbeit des ERC-finanzierten Projekts PDE-INVERSE mit inversen Problemen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen, wobei ein für die geometrische Wellengleichung entwickeltes Verfahren zum Einsatz kommt. Bei diesem Ansatz wird die nichtlineare Interaktion von Wellen genutzt, um zu Ergebnissen zu gelangen, die mit linearen Gleichungen unerreichbar bleiben. Das Team von PDE-INVERSE treibt Innovationen in der Gehirnbildgebung, bei der Virenerkennung und in den Geowissenschaften voran.
Ziel
Inverse problems are a research field at the intersection of pure and applied mathematics. The goal in inverse problems is to recover information from indirect, incomplete or noisy observations. The problems arise in medical and seismic imaging where measurements made on the exterior of a body are used to deduce the properties of the inaccessible interior. We use mathematical methods ranging from microlocal analysis of partial differential equations and metric geometry to stochastics and computational methods to solve these problems.
The focus of the project are the inverse problems for non-linear partial differential equations. We attack these problems using a recent method that we developed originally for the geometric wave equation. This method uses the non-linear interaction of waves as a beneficial tool. Using it, we have been able to solve inverse problems for non-linear equations for which the corresponding problem for linear equations is still unsolved. We study the determination of a Lorentzian space-time from scattering measurements and the lens rigidity conjecture. We use geometric methods, originally developed for General Relativity, to analyze waves in a moving medium and to develop methods for medical imaging. By applying Riemannian geometry and our results in invisibility cloaking, we study counterexamples for non-linear inverse problems and use transformation optics to construct scatterers with exotic properties.
We also consider solution algorithms that combine the techniques used to prove uniqueness results for inverse problems, manifold learning and operator recurrent networks. Applications include new virus imaging methods using electron microscopy and the imaging of brains.
Practical algorithms based on the results of the research will be developed in collaboration with scientists working in medical imaging, optics, and Earth sciences.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
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(öffnet in neuem Fenster) ERC-2022-ADG
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