Descrizione del progetto
Bassa regolarità e oscillazioni elevate: calcolo delle equazioni dispersive (LAHACODE)
Le equazioni differenziali parziali svolgono un ruolo centrale in matematica, consentendoci di descrivere fenomeni fisici che vanno dagli atomi ultra-freddi alla materia ultra-calda, dagli algoritmi di apprendimento ai fluidi nel cervello umano. Per comprendere la natura dobbiamo capire il loro comportamento qualitativo e calcolare in modo affidabile la loro approssimazione numerica. Anche se i problemi lineari e le soluzioni regolari sono oggi ben compresi, una descrizione affidabile di fenomeni «non regolari» rimane un problema aperto e stimolante. L’ambizione generale del progetto LAHACODE, finanziato dal CER, è quella di fare un passo cruciale per colmare questo divario incorporando profondamente la struttura sottostante delle risonanze nella discretizzazione numerica. Questo ci consentirà di collegare la discretizzazione dimensionale finita a potenti risultati di esistenza per equazioni differenziali parziali non lineari a bassa regolarità.
Obiettivo
Partial differential equations (PDEs) play a central role in mathematics, allowing us to describe physical phenomena ranging from ultra-cold atoms (Bose–Einstein condensation) up to ultra-hot matter (nuclear fusion), from learning algorithms to fluids in the human brain. To understand nature we have to understand their qualitative behavior: existence and long time behavior of solutions, their geometric and dynamical properties – as well as to compute reliably their numerical solution. While linear problems and smooth solutions are nowadays well understood, a reliable description of ‘non-smooth’ phenomena remains one of the most challenging open problems in computational mathematics since the underlying PDEs have very complicated solutions exhibiting high oscillations and loss of regularity. This leads to huge errors, massive computational costs and ultimately provokes the failure of classical schemes. Nevertheless, ‘non-smooth phenomena’ play a fundamental role in modern physical modeling (e.g. blow-up phenomena, turbulences, high frequencies, low dispersion limits, etc.) which makes it an essential task to develop suitable numerical schemes. The overall ambition of LAHACODE is to make a crucial step towards closing this gap – addressing the fundamental question: How and to what extent can we reproduce the qualitative behavior of differential equations in a finite (discretized) world? LAHACODE is situated at the challenging frontiers of analysis and numerics. The main objective is to develop a novel class of numerical schemes for nonlinear PDEs with strong geometric structure at low regularity and high oscillations. The key idea in the construction of the new schemes is to tackle and deeply embed the underlying structure of resonances in the numerical discretizations. As in the continuous case, these terms are central to structure preservation, and provide the new schemes with remarkable properties – allowing reliable approximations where classical schemes fail.
Campo scientifico
Parole chiave
Programma(i)
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
ERC-STG - Starting GrantIstituzione ospitante
75006 Paris
Francia