Nowe spojrzenie na matematykę finansową
Matematyka finansowa, w której za punkt wyjścia do obliczeń bierze się obserwowane ceny rynkowe, jest ważną dziedziną matematyki stosowanej, będącej jednym z fundamentów działania rynków finansowych. Aby matematyka finansowa mogła spełniać swoje zadanie, potrzebna jest jednak zaawansowana teoria prawdopodobieństwa, w której proces stochastyczny umożliwia śledzenie ewolucji systemu wartości losowych. W tym kontekście uczestnicy finansowanego ze środków UE projektu "Optimal portfolios with random environments, frictions and incentives" (PORTFOLIO) badali szczególną klasę problemów dotyczących wyboru portfeli, przed jakimi staje matematyka finansowa. W szczególności badano, w jaki sposób relewancja wspólna dla tych wszystkich problemów może mieć znaczenie dla konkretnych zastosowań, co rodzi nowe pytania matematyczne związane z procesami stochastycznymi. Aby osiągnąć przyjęte cele, zespół badał dynamiczne wybieranie portfeli o środowiskach losowych, kreśląc sposób na otrzymywanie optymalnych portfeli i premii za ryzyko. Udowodniono twierdzenia dotyczące statycznej separacji funduszy dla inwestorów o horyzoncie długoterminowym i stałej relatywnej wersji do ryzyka, a także losowych możliwościach inwestycyjnych. Udowodniono też trzy twierdzenia dotyczące magistrali w portfelach, a także zbadano konsumpcję na rynkach niekompletnych. W drugiej fazie projektu analizowano różne tarcia handlowe, takie jak wycenianie aktywów poniżej kosztów transakcji oraz dynamikę między kosztami transakcji, wolumenem obrotów oraz premią za płynność. Wśród badanych zagadnień znalazła się też awersja do ryzyka, spreadów endogennych oraz dynamicznego wolumenu obrotów. W projekcie badano też opłaty motywacyjne, w tym w szczególności maksymalizacja wydajności aktywnie zarządzanych funduszy, a także zachęty stosowane w opłatach funduszy hedgingowych i instrumentów typu "High Water Mark". Analizy objęły też silne portfele i słabe zachęty w inwestycjach długoterminowych oraz opłaty w funduszach hedgingowych i wzajemnych i separację inwestycji prywatnych. Wydano szereg publikacji i artykułów poświęconych tym zagadnieniom, a kolejne są w przygotowaniu. Analizy te powinny zaowocować powstaniem nowych narzędzi matematycznych, które przyczynią się do rozwoju badań nad rynkami finansowymi, a ostatecznie pomogą poprawić ich funkcjonowanie.