Odwzorowania pokrywające w optymalizacji matematycznej

Liczne problemy związane z optymalizacją i analizą wielowartościową są inspiracją dla badania właściwości odwzorowań pokrywających. Matematycy korzystający z unijnego dofinansowania przyjrzeli się odwzorowaniom w przestrzeniach metrycznych i funkcyjnych, poszukując rozwiązań równań i nierówności.

Technologie przemysłowe

Właściwości odwzorowań, wraz z regularnością metryczną i warunkiem Lipschitza, stanowią jedno z najważniejszych narzędzi umożliwiających klasyfikację przestrzeni. Dokładniej mówiąc, właściwość pokrywania wykorzystywana jest do badania punktów stałych i punktów koincydencji w odwzorowaniach oraz do otrzymywania warunków ekstremum dla problemów dotyczących optymalizacji. W pierwszej fazie projektu COVMAPS (Covering mappings and their applications in functional equations, difference equations and optimization) matematycy określili warunki wystarczające dla odwzorowań jedno- i wielowartościowych, które cechują się pokryciem, lokalnym oraz ciągłym odwzorowaniem odwróconym. Następnie zbadano właściwości odwzorowań pokrywających w uogólnionych przestrzeniach metrycznych. Aby wyprowadzić warunki rozwiązalności w odniesieniu do odwzorowań pokrywających, zespół przeanalizował problem punktów koincydencji dla dwóch odwzorowań wielowartościowych. Wyniki analizy tego problemu pokazały, w jaki sposób można potwierdzić istnienie podwójnych punktów ustalonych. Druga część projektu COVMAPS poświęcona była badaniu równań różnicowych i funkcyjnych oraz układów równań podlegających ograniczeniom. Uczeni poszukiwali warunków rozwiązalności w uogólnionych przestrzeniach metrycznych oraz badali właściwości ich rozwiązań w przypadku funkcji ciągłych, mierzalnych i wypukłych. Następnie zbadali problem optymalnej kontroli, w którym zwykłe równania różniczkowe zostały zastąpione równaniami całkowymi Volterry oraz ograniczeniami mieszanymi. Nowy układ równań zredukowano do problemu podwójnych punktów ustalonych dwóch odwzorowań wielowartościowych. Inaczej mówiąc, zespół COVMAPS uzyskał warunki wystarczające do rozwiązania badanego problemu kontroli oraz oszacowania jego rozwiązań. Podobne problemy występują w inżynierii, gdzie często konieczna jest optymalizacja projektów opartych na modelach numerycznych. Rezultaty projektu COVMAPS wpisują się w dziedzinę analizy matematycznej. Jednocześnie jednak opracowane w jego ramach narzędzia matematyczne mogą zainteresować również inżynierów.