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Stochastic pattern formation in biochemical systems

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I motori del movimento individuale e collettivo nei sistemi biochimici

Modelli matematici avanzati che integrano le equazioni di diffusione dell’avvezione di reazione, la chemiotassi e la casualità faranno luce sulla formazione di modelli complessi.

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I fenomeni meteorologici spaziali, la diffusione delle malattie e le metastasi delle cellule tumorali sono solo alcuni della miriade di esempi di sistemi in cui più «attori» interagiscono e si muovono attraverso un mezzo. La matematica fornisce strumenti utili per caratterizzare e quantificare tali sistemi per migliorare la capacità di comprensione e predittiva e, potenzialmente, il controllo del sistema. Con il sostegno del programma di azioni Marie Skłodowska-Curie (MSCA), il progetto STOPATT ha migliorato la teoria e la matematica alla base della formazione di modelli spaziali all’interno di tali sistemi, integrando input stocastici. A tal fine, Erika Hausenblas, borsista MSCA dell’Università di Leoben, si è concentrata sulle muffe, organismi eucarioti il cui ciclo di vita comprende sia cellule singole che vivono liberamente sia spore.

Reazione-avvezione-diffusione, chemiotassi e perturbazione stocastica

I funghi mucillaginosi rappresentano un interessante sistema di reazione-avvezione-diffusione descritto da equazioni che tengono conto di tre «motori» sottostanti alla formazione di modelli nello spazio e nel tempo: le reazioni chimiche, il movimento di massa nel sistema (avvezione) e il movimento casuale delle singole unità (diffusione). Il sistema presenta anche la chemiotassi (il movimento di cellule o organismi in risposta a gradienti di concentrazione di sostanze chimiche, tra cui nutrienti, tossine o molecole di segnalazione). «Se il cibo è insufficiente, i funghi mucillaginosi producono una sostanza chimica che ne attira altri. Le cellule si aggregano, costruendo una “torre” che consente alle cellule in cima di essere trasportate dal vento in un luogo potenzialmente più ricco. La chemiotassi è pertanto una strategia di sopravvivenza», spiega Hausenblas. «Le equazioni matematiche modellano il comportamento medio di una popolazione, trascurando il rumore casuale intrinseco associato agli ambienti rumorosi in cui vivono i sistemi biologici. Si può modellare questa casualità intrinseca perturbando il sistema con input stocastici. Il nostro è un processo stocastico sotto forma di una funzione che descrive la disponibilità delle risorse alimentari.»

Definizione e verifica dei modelli matematici

Una «soluzione» a qualsiasi «problema» della vita reale esiste di fatto, dal momento che il sistema esiste. Tuttavia, creare un modello matematico che rappresenti adeguatamente il sistema e le sue soluzioni è piuttosto complicato, in particolare per quanto riguarda i sistemi biologici complessi. Hausenblas ha derivato con successo equazioni che modellano la reazione-avvezione-diffusione dei funghi mucillaginosi con chemiotassi e perturbazione stocastica e ha dimostrato l’esistenza di una soluzione sia per le equazioni monodimensionali sia per le bidimensionali. Il passo successivo è stato quello di valutare la soluzione (o le soluzioni) in varie condizioni, chiedendosi, tra le altre domande: se la soluzione è «regolare», quali sono le sue caratteristiche (per esempio, se c’è più di una regione di aggregazione)? Cosa succede ai modelli spaziali quando il tempo tende all’infinito? «Stiamo ancora lavorando per realizzare questo obiettivo. Per rispondere meglio a queste domande, abbiamo sviluppato un codice per modellare la biforcazione, ovvero la situazione in cui una leggera variazione di alcuni parametri determina un improvviso cambiamento qualitativo nel comportamento del sistema. In genere, un punto di biforcazione è associato a cambiamenti nella stabilità locale o negli equilibri. Nel nostro caso, questo può modellare l’aggregazione dei funghi mucillaginosi in più di una regione a causa della funzione alimentare stocastica», osserva Hausenblas. La casualità rende la determinazione della biforcazione molto più difficile rispetto a quella delle variabili deterministiche, ma Hausenblas non teme la sfida. In sistemi così complessi, è raro trovare soluzioni analitiche (esatte) e molte proprietà del sistema non possono essere determinate attraverso la sperimentazione, poiché l’apparato di misura modifica il comportamento del sistema naturale. Hausenblas svilupperà le soluzioni numeriche delle sue equazioni, consentendo alla simulazione numerica di avvicinarsi alla soluzione esatta in misura ragionevole e sufficiente per ottenere informazioni pratiche della formazione di modelli stocastici nei sistemi biochimici.

Parole chiave

STOPATT, stocastico, funghi mucillaginosi, chemiotassi, reazione avvezione diffusione, biforcazione, sistemi biologici, modelli matematici, aggregazione, modello spaziale

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