Opis projektu
Nowatorskie strategie rozwiązywania problemów wieloskalowych
Bez równań różniczkowych cząstkowych opisywanie, jak pewne parametry zmieniają się w odniesieniu do zmian innych właściwości, nie byłoby możliwe. Równania takie obrazują wiele procesów zachodzących w mikroskali – na przykład przewodzenie ciepła lub prądu elektrycznego albo rozkład pola magnetycznego w niejednorodnym materiale – które wiążą się z szybką zmianą wartości współczynników. Dzięki homogenizacji można otrzymać równania makroskopowe opisujące układy o mikroskopijnej strukturze. Homogenizacja stochastyczna to bardziej zaawansowana metoda, która uwzględnia szybko zmieniające się współczynniki losowe. Zespół finansowanego ze środków UE projektu QSHvar wdraża nowe strategie w ramach homogenizacji stochastycznej, by rozwiązywać otwarte problemy dotyczące istotnej dziedziny analizy matematycznej zajmującej się szukaniem punktów stacjonarnych (na przykład minima i maksima) niektórych funkcji.
Cel
The proposal addresses various multiscale problems which lie at the intersection of probability theory and the analysis of partial differential equations and calculus of variations. Most of the proposed problems fit under the framework of stochastic homogenization, that is, the study of large-scale statistical properties of solutions to equations with random coefficients. In the last ten years, there has been significant progress made in developing a quantitative theory of stochastic homogenization, meaning that one can now go beyond limit theorems and prove rates of convergence and error estimates, and in some cases even characterize the fluctuations of the error. These new quantitative methods give us new tools to attack more difficult multi-scale problems that have until now resisted previous approaches, and consequently to solve open problems in the field.
Many of the actual goals of the proposal come from problems in calculus of variations. Apart from qualitative results, many fundamental questions in quantitative theory are completely open, and our recent results suggest a way to tackle these problems. The first one is to prove regularity properties of homogenized Lagrangian under rather general assumptions on functionals, and to solve a counterpart for Hilbert's 19th problem in the context of homogenization. The second project is to attack so-called Faber-Krahn inequality in the heterogeneous case. This is a very involved problem, but again recent development in the theory of homogenization makes the attempt plausible. The final part of the proposal involves new mathematical approaches and subsequent computational research supporting the geothermal power plant project being built by St1 Deep Heat Ltd in Espoo, Finland.
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-COG - Consolidator GrantInstytucja przyjmująca
00014 HELSINGIN YLIOPISTO
Finlandia