Opis projektu
Zrozumienie naturalnych procesów dzięki równaniom różniczkowym cząstkowym
W równaniach różniczkowych cząstkowych (ang. Partial Differential Equations, PDE) zakodowane zostały prawa fizyki. Równania te tłumaczą, w jaki sposób pewne ilości, takie jak ciepło, woda czy samochody, zależą od miejsca i czasu. Dokładne informacje na temat fundamentalnych procesów zachodzących w przyrodzie opierają się w dużej mierze na PDE. Z drugiej zaś strony procesy te podpowiadają nam rozwiązania problemów matematycznych. Badacze z finansowanego ze środków UE projektu techFRONT zbadają w sposób bardzo szczegółowy właściwości nieregularnych rozwiązań pewnych PDE. Spróbują oni znaleźć odpowiedź na pytanie, czy pierwotnie nieregularne rozwiązania stają się z czasem regularne oraz czy równania PDE są dobrze postawione dla rosnącej (dużej) ilości danych wstępnych. Zbadają również zachowanie rozwiązań w sposób ilościowy, wykorzystując do tego celu wyraźne bariery lub poprzez lepsze zrozumienie długofalowego zachowania PDE.
Cel
Physical laws are mathematically encoded into partial differential equations (PDEs). They tell us how certain quantities---like heat, water, or even cars---depend on position and time. Even without knowing the solutions explicitly, the ultimate goal of this project is to investigate fine properties of irregular solutions of certain classes of PDEs: can we predict the behaviour of the solution by using barriers; how will the solution behave after a long time has passed; can irregular solutions become regular---possibly classical; are the problems well-posed even for growing initial data? In practice, such properties describe the underlying physical model. Indeed, the mathematical insight provides new knowledge about the real-world applications, and information about the application gives hints to solutions of mathematical problems.
We aim to use new and innovative techniques to prove fine properties of solutions of generalized porous medium equations (GPME). We intend to build a solution theory for a new class of weak solutions. This includes general well-posedness, regularity theory, and asymptotic behaviour. Our approach will provide an alternative to established methods due to DeGiorgi-Nash and Moser which seems to be unsuitable in this context. When there is convection present in GPME, that is, when we have a convection-diffusion equation (CDE), we plan to explore the possibilities of using the new to theory for GPME to shed new light on the asymptotic behaviour for CDE.
Dziedzina nauki
Słowa kluczowe
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
MSCA-IF - Marie Skłodowska-Curie Individual Fellowships (IF)Koordynator
28049 Madrid
Hiszpania