Przeszukiwanie grafów
Wyszukiwanie krawędzi to gra pościgowa w teorii grafów. Naukowcy z różnych dyscyplin zajmują się tą interdyscyplinarną dziedziną od ponad dwudziestu lat. Jeden z najważniejszych problemów dotyczy scharakteryzowania grafów, w których liczba krawędzi jest równoważna liczbie wyszukiwań. Tym ważnym zagadnieniem matematycznym zajęli się uczestnicy finansowanego ze środków UE projektu "Forbidden Minor characterizations for 4-searchable graphs" (FORMI 4-SEG). Celem projektu jest oczyszczenie sieci tunelu wypełnionych szkodliwym gazem przy pomocy jak najmniejszej liczby oczyszczaczy. Badacze chcą scharakteryzować minory grafów, gdzie liczba k jest większa niż trzy. Takie grafy — nazywane także strukturami zakazanymi — można uzyskać poprzez skracanie krawędzi lub usuwanie wierzchołków danego grafu. W projekcie FORMI 4-SEG przyjęto, że graf jest początkowo całkowicie zanieczyszczony. Czyszczenie jest wykonywane przez zespół poszukiwaczy, którzy mogą wykonywać trzy rodzaje ruchów: poszukiwacz jest umieszczany na wierzchołku, poszukiwacz jest usuwany z wierzchołka oraz poszukiwacz zsuwa się z wierzchołka na jednego z sąsiadów. Naukowcy skonstruowali zakazane minory do dwustronnie połączonych czterokrawędziowych przeszukiwalnych grafów szeregowo-równoległych. Metodę tę rozszerzono na potrzeby k-krawędziowych przeszukiwalnych grafów szeregowo-równoległych. Innym ważnym rezultatem jest wykorzystanie ogólnej metody noszącej nazwy k-sum i służącej do konstruowania zakazanych minorów w zamkniętej rodzinie minorów. Badacze liczą, że uda się zbudować czterokrawędziowy przeszukiwalny graf, niezawierający żadnych struktur zakazanych. Omawiany projekt otwiera to zagadnienie na dalsze badania i interpretacje matematyczne, których wyniki mogą znaleźć zastosowanie w różnych dziedzinach, w tym w identyfikacji struktur.
Słowa kluczowe
Liczba wyszukiwania, wyszukiwanie krawędzi, gry pościgowe, graf, struktury zakazane, skracanie krawędzi, usuwanie wierzchołków, czterokrawędziowy, szeregowo-równoległe, sumy k