Nowe badania nad bifurkacją i chaosem
Modele o niegładkich funkcjach cieszą się dużym zainteresowaniem, gdyż umożliwiają dokładne opisywanie wielu układów, zarówno naturalnych, jak sztucznych. Zjawiska zachodzące w takich układach wywoływane są obecnością przełączających rozmaitości w przestrzeni stanów oraz ich oddziaływaniami z szeregiem zbiorami niezmienników. Do niedawna zbadane były niemal wyłącznie układy z jedną rozmaitością przełączającą. W ramach finansowanego ze środków UE projektu MUDIBI (Multiple-discontinuity induced bifurcations in theory and applications) badano podstawowe zasady organizacji struktur bifurkacyjnych w niskowymiarowych mapach zawierających więcej niż jedną rozmaitość przełączającą. Uczestnicy projektu wyjaśnili cechy pewnych ogólnych struktur bifurkacyjnych tych układów. W projekcie MUDIBI wykorzystano odpowiednie techniki opracowane dla map z jedną rozmaitością przełączającą i zastosowano koncepcję organizacji centrów w wielowymiarowych przestrzeniach parametrów. Uczeni badali trzy ogólne struktury bifurkacyjne i uzyskali wyrażenia analityczne dla granic regionu okresowości przy pomocy techniki podstawienia mapy. Następnie zajęli się strukturami bifurkacyjnymi posiadającymi wielopasmowe chaotyczne atraktory, identyfikując ogólne mechanizmy odpowiedzialne za liczbę pasm. Inna część prac dotyczyła zachowań przetworników DC/AC w zakresie nietypowego przejścia z domeny stabilny punktów stałych do chaotycznej dynamiki. Ta pierwsza domena odpowiada pożądanemu sposobowi pracy przetwornika. Naukowcy zidentyfikowali nieregularne kaskady w różnych bifurkacjach kolizji brzegowej, które nie były nigdy wcześniej opisywane. Rezultaty te mają też zastosowanie do modeli, na których zachowanie wpływa duża liczba punktów granicznych wynikających ze sposobu pracy przetworników DC/AC. Jedno z najważniejszych ustaleń dotyczyły pojawiania się zorganizowanych centrów w jednowymiarowych mapach przy dowolnej liczbie nieciągłości. Naukowcy odkryli, że ich pojawianie się może przewidywać w taki sam sposób co na mapach z tylko jedną nieciągłością. Znaczącą część prac przeprowadzono też na modelach segregacji opisujących wprowadzanie i wyprowadzanie dwóch populacji do/z układu. Przy pomocy metod numerycznych zespół zbadał bifurkacje kolizji brzegowej generowane w momencie osiągnięcia górnej granicy liczby jednostek, które mogą zostać wprowadzone do układu.
Słowa kluczowe
Bifurkacja, chaos, struktury bifurkacyjne, wielowymiarowe przestrzenie parametrów, rozmaitości przełączające
